Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $ . Nilai $ p $ agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah .....
A). $ 1\frac{1}{2} < p < 2 \, $ atau $ p > 3 \, $ atau $ p < 1 $
B). $ 1 < p < 1\frac{1}{2} \, $ C). $ 1\frac{1}{2} < p < 3 \, $
D). $ p < 1 \, $ atau $ p > 6 $
E). $ p < 1\frac{1}{2} \, $ atau $ p > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Syarat akar-akar berlawanan tanda (berlainan tanda) yaitu $ x_1 > 0 $ dan $ x_2 < 0 $ atau $ x_1 < 0 $ dan $ x_2 > 0 $ yaitu :
(i). $ x_1 . x_2 < 0 $
(ii). $ D > 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
(kedua syarat diiriskan penyelesaiannya)
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $, akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $
dengan $ a = 1, b = 2p $ , dan $ c = -p^2 + 7p - 6 $
*). Menyelesaikan syarat akar-akar berlawanan tanda :
-). Syarat pertama :
$\begin{align} x_1.x_2 & < 0 \\ \frac{c}{a} & < 0 \\ \frac{-p^2 + 7p - 6}{1} & < 0 \\ -p^2 + 7p - 6 & < 0 \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ p^2 - 7p + 6 & > 0 \\ (p - 1 )(p - 6) & > 0 \\ p = 1 \vee p & = 6 \end{align} $
garis bilangan pertamanya :
 

$ HP_1 = \{ p < 1 \vee p > 6 \} $
-). Syarat kedua :
$\begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (2p)^2 - 4.1.( -p^2 + 7p - 6 ) & > 0 \\ 4p^2+ 4p^2 - 28p + 24 & > 0 \\ 8p^2 - 28p + 24 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2p^2 - 7p + 6 & > 0 \\ (2p -3)(p-2) & > 0 \\ p = \frac{3}{2} \vee p & = 2 \end{align} $
garis bilangan keduanya :
 

$ HP_2 = \{ p < \frac{3}{2} \vee p > 2 \} $
-). Solusi totalnya adalah irisan kedua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ p < 1 \vee p > 6 \} \cap \{ p < \frac{3}{2} \vee p > 2 \} \\ & = \{ p < 1 \vee p > 6 \} \end{align} $
Jadi, syaratnya adalah $ \{ p < 1 \vee p > 6 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar