Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Tiga bilangan real $ a, b, $ dan $ c $ dengan $ c < a $ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahnya adalah $ -14 $ dan hasil perkaliannya adalah 216. Nilai $ c $ adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -14 \, $ D). $ -18 \, $ E). $ -20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
-). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, .... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisannya : $ a, b, c $
Misalkan kita ubah sesuai barisan geometri yaitu
$ a, b, c \rightarrow a, ar , ar^2 $
artinya $ a = a, b = ar, $ dan $ c = ar^2 $.
*). Menyusun persamaannya :
-). Jumlahnya = -14
$ a + ar + ar^2 = -14 \, $ .....(i)
-). hasil kali = 216
$\begin{align} a . ar .ar^2 & = 216 \\ (ar)^3 & = 6^3 \\ ar & = 6 \\ r & = \frac{6}{a} \end{align} $
*). Substitusikan $ ar = 6 $ dan $ r = \frac{6}{a} $ ke pers(i)
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = -14 \\ a + ar + ar.r & = -14 \\ a + 6 + 6r & = -14 \\ a + 6r & = -20 \\ a + 6. \frac{6}{a} & = -20 \, \, \, \, (\times a) \\ a^2 + 36 & = -20a \ a^2 + 20a + 36 & = 0 \\ (a + 2)(a+18) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = -18 \end{align} $
-). Untuk $ a = -2 \rightarrow r = \frac{6}{a} = \frac{6}{-2} = -3 $
$ c = ar^2 = (-2). (-3)^2 = (-2) . 9 = -18 $
-). Untuk $ a = -18 \rightarrow r = \frac{6}{a} = \frac{6}{-18} = -\frac{1}{3} $
$ c = ar^2 = (-18). ( -\frac{1}{3})^2 = (-18). \frac{1}{9} = - 2 $
Karena $ c < a $ , maka yang memenuhi adalah $ a = -2 $ dan $ c = -18 $.
Jadi, nilai $ c = -18 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar