Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a $. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ (2x-1)^2 - a^2 \leq 1 - 4x $ adalah $ \{ a : x \text{ bilangan real }, p \leq x \leq q \} $, maka $ p + q = .... $
A). $ -a \, $ B). $ -1 $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} (2x-1)^2 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - 4x + 1 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - a^2 & \leq 0 \\ (2x + a)(2x - a) & \leq 0 \\ x = -\frac{a}{2} \vee x & = \frac{a}{2} \end{align} $
Yang diminta $ \leq 0 $ (daerah negatif).
*). Kita bagi menjadi tiga kasus untuk nilai $ a $ yaitu $ a > 0 , \, a = 0 , \, $ dan $ a < 0 $
-). Untuk $ a > 0 $ , garis bilangannya :
 

solusinya : $ -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = -\frac{a}{2} $ dan $ q = \frac{a}{2} $
Nilai $ p + q = (-\frac{a}{2}) + \frac{a}{2} = 0 $

-). Untuk $ a = 0 $ , nilai $ -\frac{a}{2} = \frac{a}{2} = 0 $ :
 

solusinya : $ x = 0 $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = 0 $ dan $ q = 0 $
Nilai $ p + q = 0 + 0 = 0 $

-). Untuk $ a < 0 $ , garis bilangannya :
 

solusinya : $ \frac{a}{2} \leq x \leq -\frac{a}{2} $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = \frac{a}{2} $ dan $ q = -\frac{a}{2} $
Nilai $ p + q = \frac{a}{2} + (- \frac{a}{2} ) = 0 $

Dari semua kasus nilai $ a $, nilai $ p + q $ tetap sama yaitu $ p + q = 0 $
Jadi, nilai $ p + q = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar