Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $ dan $ k $ merupakan skalar sehingga $ A + kA^T = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Transpose matriks A yaitu $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Perkalian skalar :
$ kA = k \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} ka & kb \\ kc & kd \end{matrix} \right) $
-). Penjumlahan matriks = jumlah unsur yang seletak
-). Kesamaan dua matriks : Unsur yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $
Transpose matriks A yaitu $ A^T = \left( \begin{matrix} 1 & y \\ x & z \end{matrix} \right) $
*). Menyusun persamaannya :
$\begin{align} A + kA^T & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) + k\left( \begin{matrix} 1 & y \\ x & z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} k & ky \\ kx & kz \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 + k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan yaitu :
$ 1 + k = -1 \rightarrow k = -2 $
$ z + kz = -2 \rightarrow z + (-2)z = -2 \rightarrow z = 2 $
$ x + ky = 5 \rightarrow x + (-2)y = 5 \rightarrow x = 2y + 5 $ ...(i)
$ y + kx = -7 \rightarrow y + (-2)x = -7 \rightarrow 2x-y = 7 $ ...(ii)
*). Substitusi $ x = 2y + 5 $ ke pers(ii)
$\begin{align} 2x - y & = 7 \\ 2(2y+5) - y & = 7 \\ 4y + 10- y & = 7 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{align} $
pers(i): $ x = 2y + 5 = 2(-1) + 5 = 3 $
*). Menentukan nilai $ x + y + z $
$\begin{align} x + y + z & = 3 + (-1) + 2 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z = 4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar