Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah 91. Jika suku ketiga dikurangi 13, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). 4 atau 43 B). 7 atau 46
C). 10 atau 49 D). 13 atau 52
E). 16 atau 55

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
-). Ciri-ciri barisan aritmetika :
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4-u_3 = u_5 - u_4 = .... $
-). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui tiga suku barisan geometri yaitu $ a, ar, ar^2 $.
Jumlahnya = 91
$ a + ar + ar^2 = 91 \, $ ....... (i)
atau di ubah menjadi :
$ a + ar^2 = 91 - ar $
*). Barisannya diubah menjadi $ a, ar, ar^2 - 13 $ yang membentuk barisan aritmetika.
Selisih pada barisan aritmetika selalu sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ ar - a & = (ar^2 - 13) - ar \\ a + ar^2 - 2ar & = 13 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} a + ar^2 - 2ar & = 13 \\ (a + ar^2) - 2ar & = 13 \\ (91 - ar) - 2ar & = 13 \\ 3ar & = 78 \\ ar & = 26 \\ r & = \frac{26}{a} \end{align} $
*). Substitusikan $ ar = 26 $ dan $ r = \frac{26}{a} $ ke pers(i) :
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + ar + ar. r & = 91 \\ a + ar + 26 r & = 91 \\ a + 26 + 26. \frac{26}{a} & = 91 \\ a + \frac{26 \times 26}{a} & = 65 \, \, \, \, \, (\times a ) \\ a^2 + 26 \times 26 & = 65 a \\ a^2 - 65a + 26 \times 26 & = 0 \\ (a - 13 )(a - 52) & = 0 \\ a = 13 \vee a & = 52 \end{align} $
Jadi, suku pertamanya yaitu 13 atau 52 $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar