2010 Pembahasan Selisih Akar UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akar tersebut bernilai $ \frac{15}{4} $ , maka akar-akar tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ dan $ 2 $ B). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 1 $
C). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 2 $ D). $ 1 \, $ dan $ -2 $
E). $ 1 \, $ dan $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a = p , \, b = 5 \, $ dan $ c = p $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} \text{Selisih kuadrat } & = \frac{15}{4} \\ x_1^2 - x_2^2 & = \frac{15}{4} \\ (x_1+x_2)(x_1-x_2) & = \frac{15}{4} \\ \frac{-b}{a} \times \frac{\sqrt{D}}{a} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5}{p} \times \frac{\sqrt{5^2 - 4.p.p}}{p} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{15}{4} \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2})^2 & = (\frac{3}{4})^2 \\ \frac{25 - 4p^2 }{p^4} & = \frac{9}{16} \\ 16(25 - 4p^2 ) & = 9p^4 \\ 400 - 64p^2 & = 9p^4 \\ 9p^4 + 64p^2 - 400 & = 0 \\ (9p^2+100)(p^2 - 4) & = 0 \\ p^2 = -\frac{100}{9} \vee p^2 & = 4 \end{align} $
$ p^2 = -\frac{100}{9} \, $ tidak memenuhi karena $ p^2 $ hasilnya selalu positif.
$ p^2 = 4 \rightarrow p = \pm 2 $
*). Akar-akar PK positif, sehingga :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{p} $ harus bernilai positif jika $ p = -2 $. Sehingga nilai $ p $ yang kita pakai adalah $ p = -2 $.
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow px^2 + 5x + p & = 0 \\ -2x^2 + 5x -2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2x^2 - 5x +2 & = 0 \\ (2x - 1)(x - 2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{1}{2} \vee x = 2 . \, \heartsuit $



2 komentar:

  1. pak kalo ribet mencari akar p nya gimana pak (memfaktorkan p nya) kalo pake rumus ABC tambah rumit lagi pak bagaimana clue nya mohon pencerahannua pak ... terima kasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @fiqri,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      pertama kita usahakan melakukan pemfaktoran terlebih dahulu. namun tidak semua bentuk persamaan kuadrat bisa difaktorkan sehingga kita harus menggunakan rumus ABC. Harus yang sabar dan banyak berlatih lagi ya @fiqri.

      Semoga bisa lebih baik.

      Hapus