Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha \, $ untuk $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ ,
maka $ \cos \alpha = .... $
A). $\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ E). $-\frac{1}{2} $
A). $\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ E). $-\frac{1}{2} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus-rumus dasar trigonmetri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{b} = c \rightarrow b = \frac{a}{c} $
*). Rumus-rumus dasar trigonmetri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{b} = c \rightarrow b = \frac{a}{c} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \tan 2\alpha & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^2 x - 1} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{4 \sin \alpha \cos \alpha } \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{1}{2} \\ 2\cos ^2 x & = \frac{1}{2} + 1 \\ 2\cos ^2 x & = \frac{3}{2} \\ \cos ^2 x & = \frac{3}{4} \\ \cos x & = \pm \sqrt{\frac{3}{4} } = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ \alpha $ pada interval $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ (kuadran II) , maka nilai $ \cos \alpha \, $ bernilai negatif. Sehingga nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \tan 2\alpha & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^2 x - 1} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{4 \sin \alpha \cos \alpha } \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{1}{2} \\ 2\cos ^2 x & = \frac{1}{2} + 1 \\ 2\cos ^2 x & = \frac{3}{2} \\ \cos ^2 x & = \frac{3}{4} \\ \cos x & = \pm \sqrt{\frac{3}{4} } = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ \alpha $ pada interval $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ (kuadran II) , maka nilai $ \cos \alpha \, $ bernilai negatif. Sehingga nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $
izin Pak Putu, mungkin lebih simple karena A dalam rentang 90<A<180 maka coba saja masukkan A nya ke persamaan
BalasHapusMisal ambil A=150
tan 2(150) = 4 sin 150. cos A
tan 300 = 4(1/2).cos A
-(3)^1/2= 2 cos A
cos A= (-(3)^1/2) / 2
atau cos A = (-akar3) / 2
Oh iya itu typo sedikit pak di hasil akhirnya. Kurang minus
Terimakasih
Hallow @Bobbi,
HapusTerimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa.
Terimakasih juga untuk koreksinya.
Boleh saja kita coba nilai $ \alpha $ pada interval yang ada pada soal, hanya saja nilai $ \alpha $ tersebut belum tentu sebagai solusinya.
@Bobbi, kurang tepat cara ngeceknya kalau hanya $ \alpha $ tertentu yang kita gantikan, seharusnya caranya adalah semua $ \alpha = 150^\circ $ kita ganti lalu kita cek apakah ruas kiri sama dengan ruas kanan nilainya, kalau sama berarti $ \alpha = 150^\circ $ memenuhi persamaannya.
$ \begin{align}
\tan 2 \alpha & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\
\tan 2 \times 150^\circ & = 4 \sin 150^\circ \cos 150^\circ \\
\tan 300^\circ & = 4 \sin 150^\circ \cos 150^\circ \\
-\sqrt{3} & = 4 . \frac{1}{2} . -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & = -\sqrt{3} \\
\end{align} $
Ruas kiri sama dengan ruas kanan, sehingga $ \alpha = 150^\circ $ memenuhi persamaan dan menjadi solusinya, sehingga $ \cos \alpha = \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Catatan :
-). Ini hanya metode uji angka dimana tidak semua persamaan trigonometri memiliki penyelesaian untuk sudut istimewa.
-). Metode uji angka (coba-coba) ini bisa digunakan, hanya saja harus hati-hati dalam perhitungannya.
-). Misalkan soalnya $ \tan 2x = 8\sin x \cos x $ untuk
$ 90^\circ < x < 180^\circ $ , pasti solusinya bukan $ x = 150^\circ $.
Seperti itu penjelasannya,
Semoga bisa membantu.