Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b<0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Terdapat asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki tepat satu asimtot tegak jika $ f(x) $ berbentuk pecahan, penyebutnya harus mempunyai satu faktor yang berbeda dengan faktor pembilangnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax+c}{\sqrt{x^2+bx+d}} = a $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{ax+c}{\sqrt{x^2+bx+d}} = -a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ memiliki satu asimtot tegak, artinya penyebut hanya mempunyai satu faktor yaitu pada saat $ b = - 2 $.
$\begin{align} \sqrt{x^2+bx+1} & = \sqrt{x^2-2x+1} \\ & = \sqrt{(x-1)^2} = (x-1) \end{align} $
*). Salah satu asimtot mendatarnya adalah $ y = -3 $, artinya hasil limitnya adalah $ -3 $.
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} & = -3 \\ a & = -3 \\ \text{(atau)} & \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} & = -3 \\ -a & = -3 \\ a & = 3 \end{align} $
Karena nilai $ a > 0 $ , sehingga $ a = 3 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ a + 2b $ :
$\begin{align} a + 2b & = 3 + 2.(-2) = 3 - 4 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + 2b = -1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar