Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung dari kurva $ y = px^3 - qx^2 + 1 $ di $ x = 2 $ adalah $ y - 2x + 5 = 0 $ , maka $ 2pq = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Gradien garis $ y = ax + b $ adalah $ m = a $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). Kurvanya $ y = px^3 - qx^2 + 1 \rightarrow y^\prime = 3px^2 - 2qx $.
-). Garis singgungnya $ y - 2x + 5 = 0 \rightarrow y = 2x - 5 $,
gradie garis singgungnya $ m = 2 $.
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x_1 = 2 $ ke garis :
$\begin{align} x_1 = 2 \rightarrow y & = 2x - 5 = 2.2 - 5 = -1 \end{align} $
titik singgungnya $ (x_1,y_1)=(2,-1) $.
*). Substitusi titik singgung ke kurva
$\begin{align} (x_1,y_1)=(2,-1) \rightarrow y & = px^3 - qx^2 + 1 \\ -1 & = p.2^3 - q.2^2 + 1 \\ -1 & = 8p - 4q + 1 \\ -2 & = 8p - 4q \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 4p - 2q & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Gradien garis singgung saat $ x_1 = 2 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 2 & = f^\prime (2) \\ 2 & = 3p.2^2 - 2q.2 \\ 2 & = 12p - 4q \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 6p - 2q & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 6p - 2q = 1 & \\ 4p - 2q = -1 & - \\ \hline 2p = 2 & \\ p = 1 & \end{array} $
pers(ii) : $ 6p - 2q = 1 \rightarrow 6.1 - 2q = 1 \rightarrow q = \frac{5}{2} $
Sehingga nilai $ 2pq = 2.1.\frac{5}{2} = 5 $.
Jadi, nilai $ 2pq = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar