Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan hiperbola dengan puncak $(-2,3)$ dan $(-2,9)$. Jika puncak berada di tengah-tengah antara pusat dan fokus, maka persamaan hiperbola itu adalah ....
A). $ -\frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
B). $ \frac{(x-6)^2}{25} - \frac{(y+2)^2}{36} = 1 \, $
C). $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 \, $
D). $ \frac{(x+2)^2}{27} - \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
E). $ -\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+6)^2}{9} = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola dengan komponen $ y $ berubah pada titik puncak yaitu :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Keterangan :
1). $(p,q) = \, $ titik pusat yang terletak ditengah-tengah kedua titik puncak
2). $ a = \, $ jarak titik puncak ke titik pusat,
3). $ c = \, $ jarak titik fokus ke titik pusat,
4). $ b ^2 = c^2 - a^2 $
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik puat $(p,q) $ yaitu titik tengah kedua puncak $(-2,3) $ dan $(-2,9) $ :
$ (p,q) = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{-2 +(-2)}{2} , \frac{3 + 9}{2} \right) = (-2,6) $.
*). Menentukan nilai $ a $ yaitu jarak titik pusat $(-2,6) $ ke salah satu titik puncak $(-2,3) $ :
$ a = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (6-3)^2} = \sqrt{9} = 3 $
*). Karena titik puncak ada ditengah-tengah antara titik pusat dan fokus, maka jarak titik pusat dan titik fokus adalah dua kali jarak titik pusat ke salah satu titik puncak.
$ c = 2a = 2. 3 = 6 $.
Nilai $ b^2 = c^2 - a^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 $.
*). Menyusun persamaan hiperbola :
$\begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-2))^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{3^2} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar