Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 207

Soal yang Akan Dibahas
Akan dikonstruksi beberapa barisan geometri. Setiap barisan memenuhi syarat bahwa hasil kali tiga suku berurutannya adalah 27 dan jumlahnya adalah $ 10\frac{1}{2}$. Jumlah semua rasio barisan yang memenuhi syarat tersebut adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
i). $ a^m.a^n = a^{m+n} $
ii). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
iii). $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Tiga suku berurutan yang dimaksud masih umum, sehingga kita misalkan saja :
suku pertama : $ U_n = ar^{n-1} $
suku kedua : $ U_{n + 1} = ar^{n} $
suku ketiga : $ U_{n + 2} = ar^{n+1} $
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \text{perkalian } & = 27 \\ U_n \times U_{n+1} \times U_{n+2} & = 27 \\ ar^{n-1} \times ar^n \times ar^{n+1} & = 27 \\ a^3r^{n-1 + n + n+1} & = 27 \\ a^3r^{3n} & = 27 \\ (ar^{n})^3 & = 3^3 \\ ar^n & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Persamaan kedua dan gunakan $ ar^n = 3 $
$\begin{align} \text{penjumlahan } & = 10\frac{1}{2} \\ U_n + U_{n+1} + U_{n+2} & = \frac{21}{2} \\ ar^{n-1} + ar^n + ar^{n+1} & = \frac{21}{2} \\ \frac{ar^n}{r} + ar^n + ar^n. r & = \frac{21}{2} \\ \frac{3}{r} + 3 + 3 r & = \frac{21}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{2r}{3} ) \\ 2+ 2r + 2r^2 & = 7r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ a = 2, b = -5, c & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah rasio dengan jumlah akar-akar:
$\begin{align} r_1 + r_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai rasio adalah $ \frac{5}{2} . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Jika teman-teman merasa kesulitan untuk menghitung dari 3 suku berurutan $ U_n, U_{n+1}, U_{n+1} $, maka sebenarnya bisa kita ganti langsung dengan tiga suku berurutan yang pasti, misalkan $ U_1, U_2, U_3 $ atau $ U_2, U_3, U_4 $, atau $ U_5, U_6, U_7 $ , dan lainnya. Mungkin dengan menggunakan suku yang pasti akan memudahkan dalam menghitungnya.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar