Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 207

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = ax+b $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = 8 $, maka $ f(2) = .... $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = 8 $ dengan penyebut bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 4 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(4) = 0$ dengan $ f(x) = ax + b $.
$ f(4) = 0 \rightarrow 4a + b = 0 \rightarrow b = -4a \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} & = 8 \\ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{ax+b}{\sqrt{x}-2} & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{a}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} & = 8 \\ \displaystyle \lim_{x \to 4} 2a\sqrt{x} & = 8 \\ 2a.\sqrt{4} & = 8 \\ 4a & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ b = -4a = -4.(2) = -8 $.
Fungsinya amenjadi : $ f(x) = ax + b = 2x - 8 $.
Sehingga nilai $ f(2) = 2.2 - 8 = -4 $.
Jadi, nilai $ f(2) = -4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar