Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang AHF dan CHF, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ -\frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Aturan kosinus segitiga ABC :
$ AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2.CA.CB. \cos C \, $ atau
$ \cos C = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2.CA.CB} $
Dimana sisi CA dan CB adalah sisi yang mengapit sudut C.
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos ^2 x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Misalkan panjang rusuk kubusnya 2 satuan.
$ EG = 2\sqrt{2} $ (diagonal sisi).
$ EM = \frac{1}{2} EG = \sqrt{2} $ dan $ AC = EG = 2\sqrt{2} $ .
$ AM = \sqrt{AE^2 + EM^2} = \sqrt{2^2 + \sqrt{2}^2} = \sqrt{6} $.
$ MC = AM = \sqrt{6} $.
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ pada segitiga AMC dengan aturan kosinus :
$\begin{align} \cos \angle AMC & = \frac{MA^2 + MC^2 - AC^2}{2.MA.MC} \\ \cos \alpha & = \frac{( \sqrt{6})^2 + ( \sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{6}.\sqrt{6}} \\ & = \frac{ 6 + 6 - 8}{2.6} = \frac{ 4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ dengan identitas trigonometri :
$\begin{align} \sin \alpha & = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} \\ & = \sqrt{1 - (\frac{1}{3} )^2} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{9} } \\ & = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2}{3}\sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{ 2} . \, \heartsuit $

1 komentar:

  1. itu untuk menggambar nya pake software apa pak?? wingeom saja??

    BalasHapus