Pembahasan Pertidaksamaan Log UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq 1 $
C). $ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ x \leq \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
*). Pertidaksamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \leq g(x) \, $ untuk $ 0 < a < 1 $.
Syarat dari $ {}^a \log b $ adalah $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $.
*). Sifat ligaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b^n $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log b.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Solusi syaratnya dari $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ :
$ \begin{align} -). & \, 2x - 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2} \\ -). & \, 2 - x > 0 \rightarrow x < 2 \\ -). & \, x > 0 \end{align} $
Sehingga syaratnya : $ HP_1 = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} $.
*). menyelesaikan pertidaksamaan logaritmanya :
$\begin{align} {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1)(2 - x) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\ {}^\frac{1}{2} \log (-2x^2 + 5x - 2) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\ (-2x^2 + 5x - 2) & \leq x^2 \\ -3x^2 + 5x - 2 & \leq 0 \\ \text{(kali -1, tanda dibalik)} & \\ 3x^2 - 5x + 2 & \geq 0 \\ (3x - 2)(x-1) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} $.
*). Solusi totalnya adalah irisan kedua HP :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} \cap \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} \\ & = \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar