Pembahasan Pertidaksamaan Akar UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x \, $ adalah ....
A). $ -3 \leq x \leq \frac{1}{3} \, $
B). $ -3 \leq x \leq \frac{2}{3} \, $
C). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{2}{3} $
D). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 6 $
E). $ x \leq \frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
Syarat dalam akar $ \sqrt{f(x)} $ yaitu $ f(x) \geq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x $, syarat dalam akar :
$ \begin{align} x^2 - 7x + 6 \geq 0 \\ (x - 1)(x-6) \geq 0 \\ x = 1 \vee x & = 6 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga syaratnya : $ x \leq 1 \vee x \geq 6 $.
*). Dari syarat $ x \leq 1 \vee x \geq 6 $, untuk $ x \leq 0 $ (negatif) akan selalu memenuhi pertidaksamaan. Sehingga $ HP_1 = \{ x \leq 0 \} $ .
*). Untuk syarat $ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 6 $ , kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 - 7x + 6 & \geq 4x^2 \\ -3x^2 - 7x + 6 & \geq 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 3x^2 + 7x - 6 & \leq 0 \\ (3x-2)(x+3) & \leq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & - 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga untuk $ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 6 $,
$ HP_2 = \{ 0 < x \leq \frac{2}{3} \} $.
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari kedua HP :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \\ & = \{ x \leq \frac{2}{3} \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $

2 komentar:

  1. kak gabungannya bukan yang jawaban b ya? terima kasih sebelumnya 🙏

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow @safira,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      *). gabungan (union) dengan simbol $ \cup $ menyatakan semua himpunan kita ambil dan yang sama kita tulis satu kali.

      Perhatikan :
      $ HP_1 = \{ x \leq 0 \} $
      $ HP_2 = \{ 0 < x \leq \frac{2}{3} \} $
      sehingga gabungannya :
      $ HP = HP_1 \cup HP_2 $ \\
      $ = \{ x \leq \frac{2}{3} \} $.

      Sebagai pembanding option B dan option E, kita coba pilih substitusi $ x = -4 $ ke pertidaksamaannya :
      $ \begin{align}
      \sqrt{x^2 - 7x + 6} & \geq 2x \\
      \sqrt{(-4)^2 - 7.(-4) + 6} & \geq 2.(-4) \\
      \sqrt{16 + 28 + 6} & \geq -8 \\
      \sqrt{50} & \geq -8
      \end{align} $
      Benar untuk $ x = -4 $,
      sehingga untuk $ x < - 3 $ juga memenuhi solusi.

      jadi solusinya $ \{ x \leq \frac{2}{3} \} $ seperti pembahasan di atas.

      semoga bisa membantu.

      Hapus