Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar-akar persamaan $ px^2 + qx - 1 = 0 , p \neq 0 $. Jika $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = -1 $ dan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $, maka $ p + q = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat :
*). Misalkan ada PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + qx - 1 = 0 \rightarrow a = p, b = q , c = -1 $
*). Menentukan nilai $ q $ :
$\begin{align} \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} & = -1 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = -1 \\ x_1 + x_2 & = -x_1.x_2 \\ \frac{-q}{p} & = -\frac{-1}{p} \\ q & = -1 \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $:
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -\frac{3}{2}x_2 + x_2 & = \frac{-q}{p} \\ -\frac{1}{2}x_2 & = \frac{-(-1)}{p} \\ x_2 & = \frac{-2}{p} \\ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 & = -\frac{3}{2}. \frac{-2}{p} = \frac{3}{p} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ \frac{-2}{p} . \frac{3}{p} & = \frac{-1}{p} \\ p^2 - 6p & = 0 \\ p(p - 6) & = 0 \\ p = 0 \vee p & = 6 \end{align} $
Karena $ p \neq 0 $, yang memenuhi adalah $ p = 6 $.
Sehingga nilai $ p + q = 6 + (-1) = 5 $.
Jadi, nilai $ p + q = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar