Pembahasan Program Linear UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Nilai minimum $ z = 6x + 3y $ di daerah yang diarsir adalah ....

A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.
*). Persamaan garis memotong sumbu x di $ b $ dan sumbu Y di $ a $
adalah $ ax + by = a.b \, $
(kalikan silang saja).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan garisnya : 

Garis I : $ 2x + 2y = 4 \rightarrow x + y = 2 $
Garis II : $ -2x + y = -2 $
Garis III : $ x -2y = -2 $
*). Menentukan titik pojok A, B, dan C :
Perhatikan gambar berikut, -). Titik A, eliminasi garis I dan II:
$ \begin{array}{cc} x + y = 2 & \\ -2x + y = -2 & - \\ \hline 3x = 4 & \\ x = \frac{4}{3} & \end{array} $
Pers(I): $ x + y = 2 \rightarrow \frac{4}{3} + y = 2 \rightarrow y = \frac{2}{3} $
Sehingga titik $ A (\frac{4}{3}, \frac{2}{3} ) $.
-). Titik B, eliminasi garis II dan III:
$ \begin{array}{c|c|cc} -2x + y = -2 & \times 2 & -4x + 2y = -4 & \\ x - 2y = -2 & \times 1 & x - 2y = -2 & + \\ \hline & & -3x = -6 & \\ & & x = 2 & x = \frac{4}{3} & \end{array} $
Pers(II): $ -2x + y = -2 \rightarrow -2.2 + y = -2 \rightarrow y = 2 $
Sehingga titik $ B (2,2) $.
-). Titik C, eliminasi garis I dan III:
$ \begin{array}{cc} x + y = 2 & \\ x - 2y = -2 & - \\ \hline 3y = 4 & \\ y = \frac{4}{3} & \end{array} $
Pers(I): $ x + y = 2 \rightarrow x + \frac{4}{3} = 2 \rightarrow x = \frac{2}{3} $
Sehingga titik $ C (\frac{2}{3}, \frac{4}{3} ) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 6x + 3y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 6.\frac{4}{3} + 3.\frac{2}{3} = 10 \\ B \rightarrow z & = 6.2 + 3.2 = 18 \\ A \rightarrow z & = 6.\frac{2}{3} + 3.\frac{4}{3} = 8 \end{align} $.
Jadi, nilai nilai minimumnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar