Pembahasan Lingkaran Trigonometri UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 $ memotong sumbu-$y$ di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka nilai $ \cos \angle APB = .... $
A). $ -\frac{14}{25} \, $ B). $ -\frac{7}{25} \, $ C). $ \frac{7}{25} \, $ D). $ \frac{12}{25} \, $ E). $ \frac{14}{25} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kedudukan Dua lingkaran :
*). Diketahui persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Aturan kosinus pada segitiga APB :
$ AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2.PA.PB . \cos \angle APB \, $ atau
$ \cos \angle APB = \frac{PA^2 + PB ^2 - AB^2}{2.PA.PB} $
*). Suatu kurva memotong sumbu-y, maka substitusi $ x = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \rightarrow A = -6, B = 8 , C = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-6}{2} , -\frac{8}{2} ) = (3 , -4 ) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - 0 } = \sqrt{25} = 5 $
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x + 8y & = 0 \\ 0^2 + y^2 - 6.0 + 8y & = 0 \\ y^2 + 8y & = 0 \\ y(y+8) & = 0 \\ y = 0 \vee y & = -8 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah $ A(0,0) $ dan $ B(0,-8)$.
*). Ilustrasi gambarnya :
 

panjang $ AB = 8 $,
Panjang $ PA = PB = r = 5 $.
*). Menentukan nilai $ \cos \angle APB $ :
$ \begin{align} \cos \angle APB & = \frac{PA^2 + PB ^2 - AB^2}{2.PA.PB} \\ & = \frac{5^2 + 5 ^2 - 8^2}{2.5.5} \\ & = \frac{25 + 25 - 64}{50} \\ & = \frac{-14}{50} = -\frac{7}{25} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \angle APB = - \frac{7}{25} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar