Pembahasan Turunan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 $ adalah $ \alpha $ dan $ \beta $. Nilai minimum dari $ \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \, $ dicapai untuk $ a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ f(x) $ mencapai minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
$\begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(a+3)]}{1} = a + 3 \\ \alpha . \beta & = \frac{c}{a} = \frac{4a}{1} = 4a \end{align} $
*). Misalkan fungsinya : $ f(a) = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta $
*). Menentukan fungsi $ f(a) $ :
$\begin{align} f(a) & = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \\ & = [(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta] + 4\alpha \beta \\ & = (\alpha + \beta)^2 + 2\alpha . \beta \\ & = (a+3)^2 + 2. (4a) \\ & = (a^2 + 6a + 9) + 8a \\ f(a) & = a^2 + 14a + 9 \\ f^\prime (a) & = 2a + 14 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan syarat $ f^\prime (a) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 2a + 14 & = 0 \\ 2a & = -14 \\ a & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar