Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah nilai mutlak $ |x-2| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2, & x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-2), & x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 2 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 2 $ atau $ x < 2 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 2 $ , maka $ |x-2| = x - 2 $
$ \begin{align} \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{x-2+x}{2 - (x-2)} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{2 - x + 2} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{ - x + 4} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{ - x + 4} - \frac{ - x + 4 }{ - x + 4} & < 0 \\ \frac{3x-6 }{ - x + 4} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 3x-6 = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebut : $ - x + 4 = 0 \rightarrow x = 4 $
garis bilangan pertama :
 

Karena $ x \geq 2 $ , solusi pertama : HP1 = $ \{ x > 4 \} $
-). Untuk $ x < 2 $ , maka $ |x-2| = -(x - 2) = 2 - x $
$ \begin{align} \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{2-x+x}{2 - (2-x)} - 1 & < 0 \\ \frac{2}{2 + x -2} - 1 & < 0 \\ \frac{2 }{ x } - 1 & < 0 \\ \frac{2}{x} - \frac{ x}{ x} & < 0 \\ \frac{2-x}{ x} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 2 - x = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebut : $ x = 0 $
garis bilangan kedua :
 

Karena $ x < 2 $ , maka solusi kedua : HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = \{ x < 0 \vee x > 4 \} \, $ .
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < 0 \vee x > 4 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar