Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \, $ ada, maka nilai $ b $ dan nilai lmit tersebut berturut-turut adalah ....
A). 1 dan 0
B). 1 dan 1
C). 3 dan $ -1 $
D). 3 dan 1
E). 5 dan 0

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*).Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(k)}{0} $ ada jika $ f(k) = 0 $ yang kita sebut sebagai limit bentuk tak tentu yang hasilnya $ \frac{0}{0} $.
*). Penerapan turunan (Dalil L'Hopital) :
Limit bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan turunan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ yaitu : $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Selain menggunakan turunan, bisa juga menggunakan pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ b $ :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \\ & = \frac{b.(-2)^2 + 15.(-2) + 15 + b }{(-2)^2 + (-2) - 2} \\ & = \frac{4b -30 + 15 + b }{4 - 2 - 2} \\ & = \frac{5b -15}{0} \end{align} $
Agar limitnya ada, maka hasilnya harus bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ , sehingga :
$ \frac{5b -15}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 5b - 15 = 0 \rightarrow b = 3 $.
*). Menentukan hasil limitnya dengan $ b = 0 $ dan dalil L'Hopital :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 15x + 15 + 3 }{x^2 + x - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 15x + 18 }{x^2 + x - 2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{6x + 15}{2x + 1} \\ & = \frac{6.(-2) + 15}{2.(-2) + 1} \\ & = \frac{3}{-3} = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ dan limitnya adalah 3 dan $ -1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar