Pembahasan Invers Fungsi Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
$ f^{-1} $ dan $ g^{-1} $ berturut-turut menyatakan invers dari fungsi $ f $ dan $ g $. Jika $ (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) = 2x - 4 $ dan $ g(x) = \frac{x-3}{2x+1} $ , $ x \neq -\frac{1}{2} $ , maka nilai $ f(2) $ sama dengan ......
A). $ -\frac{5}{4} \, $ B). $ -\frac{6}{5} \, $ C). $ -\frac{4}{5} \, $ D). $ -\frac{6}{7} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Sifat invers komposisi fungsi :
(i). $ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) $
(ii). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). invers dari $ y = 2x - 4 $ :
$ y = 2x - 4 \rightarrow x = \frac{y + 4}{2} $
Sehingga invernya $ y^{-1} = \frac{x + 4}{2} $
*). Mengubah fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) & = 2x - 4 \\ (g \circ f)^{-1}(x) & = 2x - 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(inverskan kedua ruas)} \\ (g \circ f)(x) & = \frac{x + 4}{2} \\ g(f(x)) & = \frac{x + 4}{2} \\ \frac{f(x)-3}{2f(x)+1} & = \frac{x + 4}{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ \frac{f(2)-3}{2f(2)+1} & = \frac{2 + 4}{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } p = f(2) ) \\ \frac{p-3}{2p+1} & = 3 \\ p-3 & = 3(2p+1) \\ p-3 & = 6p+ 3 \\ -5p & = 6 \\ p & = -\frac{6}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ f(2) = p = -\frac{6}{5} $
Jadi, nilai $ f(2) = -\frac{6}{5} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar