Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ x_1 $ bilangan non negatif terkecil dan $ x_2 $ bilangan non positif terbesar yang membuat fungsi $ y = 4 - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $ maksimum, maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah .......
A). $ -\frac{\pi}{4} \, $ B). $ \frac{3\pi}{4} \, $ C). $ \frac{3\pi}{2} \, $ D). $ \frac{7\pi}{4} \, $ E). $ \frac{9\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri $ \sin f(x) = \sin \theta $ memiliki solusi :
(i). $ f(x) = \theta + k.2\pi \, $ dan
(ii). $ f(x) = (\pi - \theta ) + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.
*). Fungsi $ y = \sin f(x) $ memiliki nilai berkisar $ -1 \leq \sin f(x) \leq 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ y = 4 - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $ mencapai maksimum pada saat $ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 $. Sehingga kita harus menentukan nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 $ :
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) & = -1 \\ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) & = \sin \frac{3\pi}{2} \end{align} $
artinya $ f(x) = x - \frac{\pi}{4} $ dan $ \theta = \frac{3\pi}{2} $
Sehingga solusinya :
(i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $ :
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k.2\pi \\ x - \frac{\pi}{4} & = \frac{3\pi}{2} + k.2\pi \\ x & = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k.2\pi \\ x & = \frac{7\pi}{4} + k.2\pi \\ k = -2 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + -4\pi = \frac{-9\pi}{4} \\ k = -1 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + -2\pi = \frac{-\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + 0 = \frac{7\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4} \end{align} $
(ii). $ f(x) = (\pi - \theta) + k.2\pi $ :
$ \begin{align} f(x) & = (\pi - \theta) + k.2\pi \\ x - \frac{\pi}{4} & = (\pi - \frac{3\pi}{2} ) + k.2\pi \\ x & = \pi - \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k.2\pi \\ x & = \frac{-\pi}{4} + k.2\pi \\ k = -2 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + -4\pi = \frac{-17\pi}{4} \\ k = -1 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + -2\pi = \frac{-9\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + 0 = \frac{-\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ x $ yang memenuhi adalah :
$ \{...., \frac{-17\pi}{4}, \frac{-9\pi}{4} , \frac{-\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, .... \} $
*). Pada soal diketahui :
-). $ x_1 $ bilangan non negatif terkecil = bilangan positif terkecil yaitu $ x_1 = \frac{7\pi}{4} $
-). $ x_2 $ bilangan non positif terbesar = bilangan negatif terbesar yaitu $ x_2 = \frac{-\pi}{4} $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = \frac{7\pi}{4} + \frac{-\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} $ Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{3\pi}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar