Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva $ y = \frac{1}{2}x^2 $ dan $ y = 6 $ adalah ..... satuan luas
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8\sqrt{2} \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan turunan :
Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan ilustrasi grafik dan persegi panjang ABCD berikut ini :

Misalkan titik $ A(a,b) $ , substitusi ke fungsi $ y = \frac{1}{2}x^2 $
$ y = \frac{1}{2}x^2 \rightarrow b = \frac{1}{2}a^2 $
Sehingga panjang dan lebar persegi panjang ABCD Yaitu :
Panjang $ = DA = 2a \, $ dengan $ a > 0 $ karena panjang selalu positif.
Lebar $ = 6 - b = 6 - \frac{1}{2}a^2 $
*). Luas persegi panjang ABCD :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \text{ panjang } \times \text{ lebar } \\ L & = 2a. (6 - \frac{1}{2}a^2 ) \\ L & = 12a - a^3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(Turunkan)} \\ L^\prime & = 12 - 3a^2 \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} L^\prime & = 0 \\ 12 - 3a^2 & = 0 \\ 3a^2 & = 12 \\ a^2 & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan luas persegi panjang ABCD dengan $ a = 2 $ :
$ \begin{align} L & = 12a - a^3 \\ & = 12.2 - 2^3 \\ & = 24 - 8 = 16 \end{align} $
Jadi, luas persegi panjang terbesar adalah 16 satuan luas $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar