Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \Delta $ABC siku-siku di A dengan $ AB : AC = 3 : 2 $. Titik D merupakan titik tengah BC dan melalui titik D ditarik garis memotong AB di titik E. Jika luas ACDE : luas BDE = 5 : 3 , maka nilai $ AE : AB $ adalah ...
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ 1 : 3 \, $ C). $ 1 : 4 \, $ D). $ 1 : 5 \, $ E). $ 2 : 5 $
Diketahui $ \Delta $ABC siku-siku di A dengan $ AB : AC = 3 : 2 $. Titik D merupakan titik tengah BC dan melalui titik D ditarik garis memotong AB di titik E. Jika luas ACDE : luas BDE = 5 : 3 , maka nilai $ AE : AB $ adalah ...
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ 1 : 3 \, $ C). $ 1 : 4 \, $ D). $ 1 : 5 \, $ E). $ 2 : 5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suatu perbandingan dapat dikalikan dengan aljabar yang sama.
*). Luas bangun datar :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \times $ tinggi
*). Kesebangunan
Dua bangun sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama.
*). Suatu perbandingan dapat dikalikan dengan aljabar yang sama.
*). Luas bangun datar :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \times $ tinggi
*). Kesebangunan
Dua bangun sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar detailnya :
-). Diketahui $ AB : AC = 3 : 2 = 3y : 2y $
artinya $ AB = 3y $ dan $ AC = 2y $.
Misalkan $ AE = x $ , maka $ EB = AB - AE = 3y - x $
-). D merupakan titik tengah BC, sehingga $ BD : BC = 1 : 2 $
*). Segitiga BDF sebangun dengan segitiga ABC :
$\begin{align} \frac{DF}{AC} & = \frac{BD}{BC} \rightarrow \frac{DF}{2y} = \frac{1}{2} \rightarrow DF = y \end{align} $
*). Menghitung luas BDE, ABC, dan ACDE:
$\begin{align} L_{BDE} & = \frac{1}{2} . EB. DF \\ & = \frac{1}{2} . (3y - x). y = \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}xy \\ L_{ABC} & = \frac{1}{2} . AB. AC \\ & = \frac{1}{2} . 3y.2y = 3y^2 \\ L_{ACDE} & = L_{ABC} - L_{BDE} \\ & = 3y^2 - \left( \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}xy \right) \\ & = \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}xy \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} \frac{L_{ACDE}}{L_{BDE}} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}xy}{\frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}xy} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{1}{2}y(3y+x)}{\frac{1}{2}y(3y-x)} & = \frac{5}{3} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{3y + x}{3y - x} & = \frac{5}{3} \\ 9y + 3x & = 15y - 5x \\ 8x & = 6y \\ y & = \frac{4}{3}x \end{align} $
*). Menentukan perbandingan AE dan AB :
$\begin{align} \frac{AE}{AB} & = \frac{x}{3y} = \frac{x}{3.\frac{4}{3}x } = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, perbandingan $ AE : AB = 1 : 4 . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar detailnya :
-). Diketahui $ AB : AC = 3 : 2 = 3y : 2y $
artinya $ AB = 3y $ dan $ AC = 2y $.
Misalkan $ AE = x $ , maka $ EB = AB - AE = 3y - x $
-). D merupakan titik tengah BC, sehingga $ BD : BC = 1 : 2 $
*). Segitiga BDF sebangun dengan segitiga ABC :
$\begin{align} \frac{DF}{AC} & = \frac{BD}{BC} \rightarrow \frac{DF}{2y} = \frac{1}{2} \rightarrow DF = y \end{align} $
*). Menghitung luas BDE, ABC, dan ACDE:
$\begin{align} L_{BDE} & = \frac{1}{2} . EB. DF \\ & = \frac{1}{2} . (3y - x). y = \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}xy \\ L_{ABC} & = \frac{1}{2} . AB. AC \\ & = \frac{1}{2} . 3y.2y = 3y^2 \\ L_{ACDE} & = L_{ABC} - L_{BDE} \\ & = 3y^2 - \left( \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}xy \right) \\ & = \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}xy \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} \frac{L_{ACDE}}{L_{BDE}} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}xy}{\frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}xy} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{1}{2}y(3y+x)}{\frac{1}{2}y(3y-x)} & = \frac{5}{3} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{3y + x}{3y - x} & = \frac{5}{3} \\ 9y + 3x & = 15y - 5x \\ 8x & = 6y \\ y & = \frac{4}{3}x \end{align} $
*). Menentukan perbandingan AE dan AB :
$\begin{align} \frac{AE}{AB} & = \frac{x}{3y} = \frac{x}{3.\frac{4}{3}x } = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, perbandingan $ AE : AB = 1 : 4 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.