Soal yang Akan Dibahas
Diberikan garis $ y = \frac{x}{3} $ dan $ y = 3x $. Persamaan lingkaran yang
menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $ (-a,-a) $ , $ a > 0 $ , dan
berjari-jari $ \frac{6}{\sqrt{10}} $ adalah ...
A). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{72}{5} = 0 \, $
B). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{82}{5} = 0 \, $
C). $ x^2+y^2+8x+8y+\frac{72}{5} = 0 \, $
D). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{62}{5} = 0 \, $
E). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{82}{5} = 0 \, $
A). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{72}{5} = 0 \, $
B). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{82}{5} = 0 \, $
C). $ x^2+y^2+8x+8y+\frac{72}{5} = 0 \, $
D). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{62}{5} = 0 \, $
E). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{82}{5} = 0 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat $ (a,b) $ dan berjari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $.
*). Jika lingkaran menyinggung garis maka :
Jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis.
*). Persamaan lingkaran yang berpusat $ (a,b) $ dan berjari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $.
*). Jika lingkaran menyinggung garis maka :
Jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan garisnya :
$ y = 3x \rightarrow 3x - y = 0 $
$ y = \frac{x}{3} \rightarrow 3y = x \rightarrow x - 3y = 0 $
*). Karena titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ dan $ a > 0 $, maka lingkaran terletak di kuadran III.
-). Ilustrasi gambarnya :
*). Diketahui $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $. Disamping itu juga, karena lingkaran menyinggung garis $ 3x - y = 0 $ , maka besar jari-jarinya adalah jarak titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ ke garis $ 3x - y = 0 $.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \text{ jarak pusat ke garis} \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{3.(-a) - (-a)}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-3a + a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-2a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \frac{2|a|}{\sqrt{10}} \\ |a| & = 3 \\ a & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
Sehingga pusat lingkarannya : $ (-a,-a) = (-3,-3) $.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) = (-3,-3) $ dan $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-(-3))^2 & = ( \frac{6}{\sqrt{10}})^2 \\ (x+3)^2 + (y+3)^2 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 - \frac{36}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{144}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} = 0 . \, \heartsuit $
*). Mengubah persamaan garisnya :
$ y = 3x \rightarrow 3x - y = 0 $
$ y = \frac{x}{3} \rightarrow 3y = x \rightarrow x - 3y = 0 $
*). Karena titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ dan $ a > 0 $, maka lingkaran terletak di kuadran III.
-). Ilustrasi gambarnya :
*). Diketahui $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $. Disamping itu juga, karena lingkaran menyinggung garis $ 3x - y = 0 $ , maka besar jari-jarinya adalah jarak titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ ke garis $ 3x - y = 0 $.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \text{ jarak pusat ke garis} \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{3.(-a) - (-a)}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-3a + a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-2a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \frac{2|a|}{\sqrt{10}} \\ |a| & = 3 \\ a & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
Sehingga pusat lingkarannya : $ (-a,-a) = (-3,-3) $.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) = (-3,-3) $ dan $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-(-3))^2 & = ( \frac{6}{\sqrt{10}})^2 \\ (x+3)^2 + (y+3)^2 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 - \frac{36}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{144}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} = 0 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.