Soal yang Akan Dibahas
Diberikan vektor $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $. Jika
$ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $ dan $ |\vec{u} - \vec{v}| = 5 $ , maka
nilai $ c^3 + 2c + 2 $ yang mungkin adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 14 $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 14 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat vektor-vektor :
$ \vec{u} = (a, b, c) $ dan $ \vec{v} = (p, q, r) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{u} . \vec{v} = a. p + b.q + c.r $
-). Panjang vektor $ \vec{u} $ disimbolkan $ |\vec{u}| $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } $
-). Pengurangan vektor :
$ \vec{u} - \vec{v} = ( a-p, b - q, c - r) $
*). Misalkan terdapat vektor-vektor :
$ \vec{u} = (a, b, c) $ dan $ \vec{v} = (p, q, r) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{u} . \vec{v} = a. p + b.q + c.r $
-). Panjang vektor $ \vec{u} $ disimbolkan $ |\vec{u}| $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } $
-). Pengurangan vektor :
$ \vec{u} - \vec{v} = ( a-p, b - q, c - r) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $
*). Persamaan pertama : $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $
$\begin{align} \vec{u} . \vec{v} & = |\vec{u}|^2 \\ a.b + b.a + c.3 & = (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2 \\ ab + ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ 2ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 & = 3c - c^2 \\ (a-b)^2 & = 3c - c^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan $ \vec{u} - \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{u} - \vec{v} & = (a-b, b-a, c-3) \end{align} $
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} | \vec{u} - \vec{v} |^2 & = 5 \\ (\sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-3)^2}) ^2 & = 5 \\ (a-b)^2 + (a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 9 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 6c - 2c^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ -c^2 + 4 & = 0 \\ c^2 & = 4 \\ c & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c^3 + 2c + 2 $ dengan $ c = 2 $ dan $ c = -2 $ :
$\begin{align} c = 2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = 2^3 + 2.2 + 2 \\ & = 14 \\ c = -2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = (-2)^3 + 2.(-2) + 2 \\ & = -10 \end{align} $
yang ada di optionnya adalah $ c^3 + 2c + 2 = 14 $.
Jadi, nilai $ c^3 + 2c + 2 = 14 . \, \heartsuit $
*). Diketahui : $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $
*). Persamaan pertama : $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $
$\begin{align} \vec{u} . \vec{v} & = |\vec{u}|^2 \\ a.b + b.a + c.3 & = (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2 \\ ab + ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ 2ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 & = 3c - c^2 \\ (a-b)^2 & = 3c - c^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan $ \vec{u} - \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{u} - \vec{v} & = (a-b, b-a, c-3) \end{align} $
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} | \vec{u} - \vec{v} |^2 & = 5 \\ (\sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-3)^2}) ^2 & = 5 \\ (a-b)^2 + (a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 9 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 6c - 2c^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ -c^2 + 4 & = 0 \\ c^2 & = 4 \\ c & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c^3 + 2c + 2 $ dengan $ c = 2 $ dan $ c = -2 $ :
$\begin{align} c = 2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = 2^3 + 2.2 + 2 \\ & = 14 \\ c = -2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = (-2)^3 + 2.(-2) + 2 \\ & = -10 \end{align} $
yang ada di optionnya adalah $ c^3 + 2c + 2 = 14 $.
Jadi, nilai $ c^3 + 2c + 2 = 14 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.