dunia informa: matipa um ugm tahun 2018 kode 275

Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2018 kode 275. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan garis $ y = \frac{x}{3} $ dan $ y = 3x $. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $ (-a,-a) $ , $ a > 0 $ , dan berjari-jari $ \frac{6}{\sqrt{10}} $ adalah ...
A). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{72}{5} = 0 \, $
B). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{82}{5} = 0 \, $
C). $ x^2+y^2+8x+8y+\frac{72}{5} = 0 \, $
D). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{62}{5} = 0 \, $
E). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{82}{5} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat $ (a,b) $ dan berjari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $.
*). Jika lingkaran menyinggung garis maka :
Jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan garisnya :
$ y = 3x \rightarrow 3x - y = 0 $
$ y = \frac{x}{3} \rightarrow 3y = x \rightarrow x - 3y = 0 $
*). Karena titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ dan $ a > 0 $, maka lingkaran terletak di kuadran III.
-). Ilustrasi gambarnya :

*). Diketahui $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $. Disamping itu juga, karena lingkaran menyinggung garis $ 3x - y = 0 $ , maka besar jari-jarinya adalah jarak titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ ke garis $ 3x - y = 0 $.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \text{ jarak pusat ke garis} \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{3.(-a) - (-a)}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-3a + a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-2a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \frac{2|a|}{\sqrt{10}} \\ |a| & = 3 \\ a & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
Sehingga pusat lingkarannya : $ (-a,-a) = (-3,-3) $.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) = (-3,-3) $ dan $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-(-3))^2 & = ( \frac{6}{\sqrt{10}})^2 \\ (x+3)^2 + (y+3)^2 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 - \frac{36}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{144}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Fungsi $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , mencapai ekstrim pada saat $ x = x_1 $ dan $ x=x_2 $. Nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \frac{7\pi}{6} \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri :
Bentuk $ a\cos f(x) + b\sin f(x) = k \cos [f(x) - \theta ] $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{b}{a} $
*). Fungsi trigonometri $ f(x) = A \cos g(x) + c $ mencapai :
maksimum saat $ \cos g(x) = 1 $
minimum saat $ \cos g(x) = -1 $
dengan $ A > 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $
*). Bentuk $ -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = k\cos (2x -\theta) $ :
dengan $ k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 $
$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} \rightarrow \tan \theta = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120^\circ $
Sehingga kita peroleh :
$ -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2\cos (2x - 120^\circ) $
Dan fungsinya menjadi :
$ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 = 2\cos (2x - 120^\circ) + 1 $
*). Fungsi $ f(x) = 2\cos (2x - 120^\circ) + 1 $ akan mencapai :
-). maksimum saat : $ \cos (2x - 120^\circ) = 1 $
$\begin{align} \cos (2x - 120^\circ) & = 1 \\ \cos (2x - 120^\circ) & = \cos 0^\circ \\ (2x - 120^\circ) & = 0^\circ \\ 2x & = 120^\circ \\ x & = 60^\circ \end{align} $
-). minimum saat : $ \cos (2x - 120^\circ) = -1 $
$\begin{align} \cos (2x - 120^\circ) & = -1 \\ \cos (2x - 120^\circ) & = \cos 180^\circ \\ (2x - 120^\circ) & = 180^\circ \\ 2x & = 300^\circ \\ x & = 150^\circ \end{align} $
Kita peroleh : $ x_1 = 60^\circ $ dan $ x_2 = 150^\circ $
*). Menentukan nilai $ x_1 + x_2 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 60^\circ + 150^\circ = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \end{align} $
dengan $ \pi = 180^\circ $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{7\pi}{6} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan vektor $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $. Jika $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $ dan $ |\vec{u} - \vec{v}| = 5 $ , maka nilai $ c^3 + 2c + 2 $ yang mungkin adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat vektor-vektor :
$ \vec{u} = (a, b, c) $ dan $ \vec{v} = (p, q, r) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{u} . \vec{v} = a. p + b.q + c.r $
-). Panjang vektor $ \vec{u} $ disimbolkan $ |\vec{u}| $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } $
-). Pengurangan vektor :
$ \vec{u} - \vec{v} = ( a-p, b - q, c - r) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $
*). Persamaan pertama : $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $
$\begin{align} \vec{u} . \vec{v} & = |\vec{u}|^2 \\ a.b + b.a + c.3 & = (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2 \\ ab + ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ 2ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 & = 3c - c^2 \\ (a-b)^2 & = 3c - c^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan $ \vec{u} - \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{u} - \vec{v} & = (a-b, b-a, c-3) \end{align} $
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} | \vec{u} - \vec{v} |^2 & = 5 \\ (\sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-3)^2}) ^2 & = 5 \\ (a-b)^2 + (a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 9 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 6c - 2c^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ -c^2 + 4 & = 0 \\ c^2 & = 4 \\ c & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c^3 + 2c + 2 $ dengan $ c = 2 $ dan $ c = -2 $ :
$\begin{align} c = 2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = 2^3 + 2.2 + 2 \\ & = 14 \\ c = -2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = (-2)^3 + 2.(-2) + 2 \\ & = -10 \end{align} $
yang ada di optionnya adalah $ c^3 + 2c + 2 = 14 $.
Jadi, nilai $ c^3 + 2c + 2 = 14 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $ . Jika $ B = 2A $ , maka matriks B adalah ...
A). $ \left( \begin{matrix} a-b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ -a-b & a + b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} -a+b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} a+b & a- b \\ a+b & -a + b \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks A simbolnya $ A^{-1} $
*). Sifat invers : $ (A^{-1})^{-1} = A $
(Untuk menghilangkan invers cukup diinverskan matriks tersebut).
*). Invers matriks :
Misalkan ada matriks $ B = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Invers matriks B yaitu $ B^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & - b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $, artinya $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $.
*). Inverskan matriks $ A^{-1} $ untuk menentukan matriks A :
$\begin{align} A^{-1} & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) \\ (A^{-1})^{-1} & = \frac{1}{\frac{1}{a-b}.\frac{1}{a+b} - \frac{-1}{a-b}.\frac{1}{a+b}} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{\frac{2}{a-b}.\frac{1}{a+b}} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{(a-b)(a+b)}{2} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} & \frac{-(a-b)(a+b)}{a+b} \\ \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} & \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -(a-b) \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan matriks B dengan $ B = 2A $ :
$\begin{align} B & = 2A \\ B & = 2.\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan ABC segitiga sama kaki dengan $ AB = AC $ dan $ \angle BAC = \alpha $. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi. Jika $ BC = 2 $ , dan $ AD = 1 $ , maka $ \sin \angle BAC = ... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{2}} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Pada segitiga ABC siku-siku di A berlaku teorema Pythagoras.
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Panjang $ BC = 2 $
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Kita cek apakah segitiga ABC siku-siku di A :
$\begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 \\ 2^2 & = (\sqrt{2} )^2 + (\sqrt{2} )^2 \\ 4 & = 2 + 2 \\ 4 & = 4 \, \, \, \, \text{(sama)} \end{align} $
*). Karena terpenuhi teorema pythagoras, maka segitiga ABC siku-siku di A sehingga $ \angle BAC = 90^\circ $ . Dari nilai $ \cos \angle BAC = 0 $ , maka besar $ \angle BAC = 90^\circ $
Sehingga nilai $ \sin BAC = \sin 90^\circ = 1 $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC yaitu :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC $ atau
$ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AB.AC} $
*). Besar sudut :
$ \cos x = 0 \rightarrow x = 90^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Panjang $ BC = 2 $ sehingga $ BD = DC = 1 $.
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$\begin{align} \cos \angle BAC & = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AB.AC} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2^2}{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{2 + 2 - 4}{2.2} \\ & = \frac{0}{4} \\ \cos \angle BAC & = 0 \end{align} $
Dari nilai $ \cos \angle BAC = 0 $ , maka besar $ \angle BAC = 90^\circ $
Sehingga nilai $ \sin BAC = \sin 90^\circ = 1 $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Sudut rangkap :
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Panjang $ BC = 2 $ sehingga $ BD = DC = 1 $.
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Misalkan $ \angle BAD = x $ sehingga $ \angle CAD = x $
artinya $ \angle BAC = x + x = 2x $
*). Perhatikan gambar segitiga ABD siku-siku di D :
$\begin{align} \sin x & = \frac{BD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos x & = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle BAC $ :
$\begin{align} \sin \angle BAC & = \sin 2x \\ & = 2\sin x \cos x \\ & = 2. \frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ & = 2. \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ m $ adalah bilangan real sedemikian sehingga sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $ mempunyai solusi $ (x,y) $ yang tidak keduanya nol, maka $ m^2 - 2m = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} ax + by = 0 \\ px + qy = 0 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian tidak hanya $ (0,0) $ jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $
*). Mengubah sistem persamaannya :
$\begin{align} 5x - 7y & = mx \rightarrow 5x - mx - 7y = 0 \rightarrow (5-m)x - 7y = 0 \\ 2x - 3y & = my \rightarrow 2x - 3y - my = 0 \rightarrow 2x - (3+m)y = 0 \end{align} $
Sehingga sistem persamaannya menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} (5-m)x - 7y = 0 \\ 2x - (3+m)y = 0 \end{array} \right. $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat solusinya tidak hanya $ (0,0) $ :
$\begin{align} \frac{5-m}{2} & = \frac{-7}{-(3+m)} \\ \frac{5-m}{2} & = \frac{7}{3+m} \\ (5-m)(3+m) & = 2.7 \\ 15 + 5m - 3m - m^2 & = 14 \\ 1 + 2m - m^2 & = 0 \\ m^2 - 2m & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x-5|^2-3|x-5| + 2 < 0 $ adalah ...
A). $ (3,4) \cup [6,7) \, $ B). $ (3,4) \cup (6,7) \, $
C). $ (1,2) \cup (3,4] \, $ D). $ (-\infty , 1) \cup [6, \infty ) \, $
E). $ (-\infty , 2) \cup ( 3, 7) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
*). Penulisan interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $
*). Nilai bentuk mutlak selalu positif.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |0-5|^2-3|0-5| + 2 & < 0 \\ 25 - 15 + 2 & < 0 \\ 12 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang benar A, B, dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=6 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |6-5|^2-3|6-5| + 2 & < 0 \\ 1 - 3 + 2 & < 0 \\ 0 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=6$ SALAH, opsi yang benar B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=6,5 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |6,5-5|^2-3|6,5-5| + 2 & < 0 \\ 2,25 - 4,5 + 2 & < 0 \\ -0,25 & < 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=6,5 $ BENAR, opsi yang benar B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ (3,4) \cup (6,7) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Bentuk mutlak :
$ |A| = B \rightarrow A = B \, \text{ dan } \, A = -B $
*). Penulisan interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan memisalkan $ | x - 5 | = p $ :
$\begin{align} |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ p^2-3p + 2 & < 0 \\ (p-1)(p-2) & < 0 \\ p = 1 \vee p & = 2 \end{align} $
$ p = 1 \rightarrow |x-5| = 1 \rightarrow x = 6 \vee x = 4 $
$ p = 2 \rightarrow |x-5| = 2 \rightarrow x = 7 \vee x = 3 $
Garis bilangannya :

Sehingga solusinya :
$ HP = \{ 3 < x < 4 \} \text{ atau } \{ 4 < x < 7 \} $
atau bisa kita tulis :
$ HP = (3,4) \cup (6,7) $
Jadi, solusinya adalah $ (3,4) \cup (6,7) . \, \heartsuit $

Pembahasan Akar-akar Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Salah satu akar dari persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ 0 $ sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $ a + b + c = - 4 $, maka akar terbesar yang mungkin adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_ 3 $
Operasi penjumlahan akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Untuk menentukan akar-akar persamaan bisa dengan pemfaktoran.
*). Akar-akar persamaan boleh kita substitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, misalkan akar-akarnya $ x_1, x_2, $ dan $ x_3 $. Salah satu akarnya 0 dan dua akar yang lainnya berlawanan, kita misalkan : $ x_1 = 0 $, $ x_2 = k $ , dan $ x_3 = -k $. ($x_2 $ dan $ x_3$ saling berlawanan).
*). Substitusi $ x_1 = 0 $ ke persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ 0^3 + a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \end{align} $
*). Operasi penjumlahan akar persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ 0 + k + (-k) & = \frac{-a}{1} \\ 0 & = -a \\ a & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 0 $ dan $ c = 0 $
*). Menentukan nilai $ b $ dari $ a + b + c = - 4 $ :
$\begin{align} a + b + c & = - 4 \\ 0 + b + 0 & = - 4 \\ b & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 0, b = -4 , c = 0 $ ke persamaan dan faktorkan :
$\begin{align} x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ x^3 + 0.x^2 + (-4).x + 0 & = 0 \\ x^3 -4x & = 0 \\ x(x^2 -4) & = 0 \\ x(x+2)(x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee (x+2)= 0 \vee (x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaannya adalah $ 0, -2 $ , dan $ 2 $. Artinya nilai terbesarnya adalah $ 2 $
Jadi, akar terbesarnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{af(x)}{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, $
dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). Hubungan kuadran :
$ \tan x = \cot ( \frac{\pi}{2} - x) $
*). Rumus dasar : $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) . \cot (\frac{\pi}{2} - x) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) . \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 2(\frac{\pi}{2} - x) . \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2(\frac{\pi}{2} - x)}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan tingginya 6 cm. Di dalam segitiga ini dibuat persegi panjang dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... cm$^2$
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus luas maksimum persegi panjang yang bisa dibuat di dalam segitiga dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut yaitu :
Luas maksimum $ = \frac{1}{2} \times $ luas segitiga.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada segitiga diketaui panjang alas $ = 10 $ dan tinggi $ = 6 $.
*). Menentukan luas maksimum persegi panjang :
$\begin{align} \text{Luas maksimum } & = \frac{1}{2} \times \text{ Luas segitiga} \\ & = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} . a . t \right) \\ & = \frac{1}{4} \times 10 \times 6 \\ & = \frac{60}{4} = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertama = 0).
*). Rumus turunan fungsi :
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luas persegi panjang :
Luas = panjang $ \times $ lebar.
*). Konsep kesebangunan :
Dua bangun datar sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama untuk sisi-sisi yang bersesuaian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

*). Perhatikan gambar di atas :
-). Misalkan ukuran persegi panjangnya :
panjang $ = 2x $ dan lebar $ = y $
alas segitiga $ = 10 $ , $ BC = 5 $, $ AB = 6 $
$ IF = 2x \rightarrow FB = DE = x $
$ AD = AB - BD = 6 - y $
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ dimana $\Delta ADE $ sebangun dengan $ \Delta ABC $ :
$\begin{align} \frac{AD}{AB} & = \frac{DE}{BC} \\ \frac{6-y}{6} & = \frac{x}{5} \\ 30 - 5y & = 6x \\ 5y & = 30 - 6x \\ y & = \frac{1}{5}(30 - 6x) \end{align} $
*). Menyusun fungsi luas persegi panjangnya :
$\begin{align} L & = p \times l \\ & = 2x.y \\ & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ L & = \frac{2}{5}(30x - 6x^2) \\ L^\prime & = \frac{2}{5}(30 - 12x) \\ \text{syarat : } L^\prime & = 0 \\ \frac{2}{5}(30 - 12x) & = 0 \\ x & = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya luas maksimum pada saat $ x = \frac{5}{2} $
*). Menentukan Luas persegi panjang maksimum dengan $ x = \frac{5}{2} $ :
$\begin{align} L & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ & = 2. \frac{5}{2}.\frac{1}{5}(30 - 6.\frac{5}{2}) \\ & = 1.(30 - 15) = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ adalah akar-akar persamaan $ {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) = 1 $ , maka $ \alpha + \beta = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Mengubah bilangan menjadi bentuk logaritma :
$ n = {}^a \log a^n $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
Operasi akar-akar : $ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) & = 1 \\ {}^x \log \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = {}^x \log x \\ \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = x \\ \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = \frac{x}{1} \\ \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) . x & = 3 \\ 2x^2 - 4x + 4 & = 3 \\ 2x^2 - 4x + 1 & = 0 \\ a = 2 , b = -4 , c & = 1 \\ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{2} & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $ , maka $ {}^2 \log x = ... $
A). $ {}^2 \log 3 - 1 \, $ B). $ {}^2 \log + 3 \, $
C). $ 1 - {}^2 \log 3 \, $ D). $ -1 - {}^2 \log 3 \, $
E). $ {}^2 \log 3 + {}^3 \log 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Mengubah bilangan menjadi bentuk logaritma :
$ n = {}^a \log a^n $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat :
$ a > 0, a \neq 1, $ dan $ b > 0 $
*). Pangkat negatif : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $
Syaratnya adalah $ x > 0 $ .
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) & = -1 \\ {}^4 \log x^2 - {}^4 \log (4x+3) & = {}^4 \log 4^{-1} \\ {}^4 \log \frac{x^2 }{4x+3} & = {}^4 \log \frac{1}{4} \\ \frac{x^2 }{4x+3} & = \frac{1}{4} \\ 4x^2 & = 4x + 3 \\ 4x^2 - 4x - 3 & = 0 \\ (2x+1)(2x-3) & = 0 \\ (2x+1) = 0 \vee (2x-3) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = \frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ {}^2 \log x $ :
$\begin{align} {}^2 \log x & = {}^2 \log \frac{3}{2} \\ & = {}^2 \log 3 - {}^2 \log 2 \\ & = {}^2 \log 3 - 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^2 \log x = {}^2 \log 3 - 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Akar-akar persamaan bisa kita substitusikan ke persamaannya.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
Contoh barisan geometrinya :
$ a, ar, ar^2, ..... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 , x_3 $. Karena membentuk barisan geometri dengan rasio $ 2 $, maka bisa kita misalkan : $ x_1 = k , x_2= 2k , x_3 = 4k $ .
atau dengan rumus barisan geometri dengan $ a = k $ dan $ r = 2 $.
$ x_1 = a = k $
$ x_2 = ar = k.2 = 2k $
$ x_3 = ar^2 = k.2^2 = 4k $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
Suku banyaknya : $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $
Nilai $ \rightarrow a = 1 , b = -7, c = p , d = q $
-). Operasi suku banyaknya :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k + 2k + 4k & = \frac{-(-7)}{1} \\ 7k & = 7 \\ k & = 1 \end{align} $
artinya kita peroleh $ x_1 = k = 1 $ (salah satu akarnya)
*). Substitusi $ x_1 = 1 $ ke suku banyaknya :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^3 - 7x^2 + px + q & = 0 \\ 1^3 - 7.1^2 + p.1 + q & = 0 \\ 1 - 7 + p + q & = 0 \\ -6 + p + q & = 0 \\ p + q & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan persamaan $ 2\sin ^3 x - \cos ^2x - 2\sin x = 0 $ , $ 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} $ . Jika $ x_1 $ penyelesaian terkecil dan $ x_2 $ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $ x_2 - x_1 = ...$
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Pemfaktoran :
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Sifat distributif :
$ ab - b = b(a-1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan trigonometrinya :
$\begin{align} 2\sin ^3 x - \cos ^2x - 2\sin x & = 0 \\ 2\sin ^3 x - (1 - \sin ^2x) - 2\sin x & = 0 \\ 2\sin ^3 x - 1 + \sin ^2x - 2\sin x & = 0 \\ 2\sin ^3 x + \sin ^2x - 2\sin x - 1 & = 0 \\ (2\sin ^3 x + \sin ^2x) - (2\sin x + 1) & = 0 \\ \sin ^2x( 2\sin x + 1) - (2\sin x + 1) & = 0 \\ ( 2\sin x + 1) (\sin ^2x - 1) & = 0 \\ ( 2\sin x + 1) (\sin x + 1) (\sin x - 1) & = 0 \\ ( 2\sin x + 1) = 0 \vee (\sin x + 1) = 0 \vee (\sin x - 1) & = 0 \\ \sin x = -\frac{1}{2} \vee \sin x = -1 \vee \sin x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} $ :
$\begin{align} \sin x & = -\frac{1}{2} \rightarrow x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \\ \sin x & = -1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \\ \sin x & = 1 \rightarrow x = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \\ \end{align} $
Sehingga $ x_1 = \frac{\pi}{2} \, $ (terkecil) dan $ x_2 = \frac{3\pi}{2} \, $ (terbesar).
Nilai $ x_2 - x_1 = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
Jadi, nilai $ x_2 - x_1 = \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan A dan B adalah sudut-sudut lancip sehingga $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} $ . Besar sudut $ (A + B) $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
*). Untuk melengkapkan sisi-sisi segitiga siku-siku, kita gunakan teorema pythagoras.
*). Jika diketahui nilai trigonometri salah satu sudut, maka untuk mencari nilai trigonometri lainnya kita buatkan perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku.
*). Perkalian bentuk akar : $ \sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{ab} $
$ \sin x = \frac{1}{2}\sqrt{2} \rightarrow x = 45^\circ = \frac{\pi}{4} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{de}{mi} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{sa}{mi} $
Berikut gambar segitiga siku-siku masing-masing sudutnya :

(gambar kedua sigitiga terpisah sesuai sudut masing-masing)
Dari gambar di atas kita peroleh :
$ \cos A = \frac{sa}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \sin B = \frac{de}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
*). Menentukan besar sudut $ (A+B) $ dengan nilai sin :
$\begin{align} \sin (A + B) & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ & = \frac{1}{\sqrt{5}} . \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{10}} \\ & = \frac{3}{\sqrt{50}} + \frac{2}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{25.2}} \\ & = \frac{5}{5\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin (A + B) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (A + B) & = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \end{align} $
Jadi, besar sudut $ A + B = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2018 Matematika IPA Kode 275

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 0 $

Nomor 8

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

Nomor 12

Nomor 13

Nomor 14

Nomor 15

Pages - Menu