Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = \frac{1}{3}x^3 - ax + b $ , $ a > 0 $ , dan $ a,b \in R $, maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $
(2). nilai maksimum lokal $ y = b + \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $
(3). $ y $ stasioner saat $ x = a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ -\infty , -a^\frac{1}{2} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax + b $
$ y^\prime = x^2 - a $
$ y^{\prime \prime } = 2x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ x^2 - a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 2\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -2\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = \frac{1}{3}(\sqrt{a})^3 - a.\sqrt{a} + b \\ & = \frac{1}{3} a^\frac{3}{2} - a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = \frac{1}{3} a^\frac{3}{2} - a^\frac{3}{2} + b \\ & = -\frac{2}{3} a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -\frac{2}{3} a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). nilai maksimum lokal $ y = b + \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = \frac{1}{3}(-\sqrt{a})^3 - a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -\frac{1}{3} a^\frac{3}{2} + a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -\frac{1}{3} a^\frac{3}{2} + a^\frac{3}{2} + b \\ & = \frac{2}{3} a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + \frac{2}{3} a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (2) BENAR.

(3). $ y $ stasioner saat $ x = a^\frac{1}{2} $ ?
Pernyataan (3) BENAR.

(4). naik pada interval $ \left[ -\infty , -a^\frac{1}{2} \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ x^2 - a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
 

Naik pada interval $ x < -a^\frac{1}{2} $ atau $ x > a^\frac{1}{2} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -a^\frac{1}{2} \right) $ atau $ \left( a^\frac{1}{2} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar