Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $, maka ....
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $
(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul
(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $
(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
-). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ syaratnya $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). Besar sudut $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \theta $ dengan rumus :
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $
*). Panjang Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || $
$ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = \left| \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 2.4 + (-1).10 + 2.(-8) = 8 - 10 -16 = -18 $
$ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
$ |\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 10^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 100 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} $

Cek setiap pernyataan :
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $ ?
$\begin{align} \vec{u} + k\vec{v} & = (2, -1, 2) + (4k, 10k, -8k) \\ & = (4k + 2, 10k - 1, 2- 8k) \\ \end{align} $
-). Syarat tegak lurus : perkalian dotnya = 0
$\begin{align} (\vec{u} + k\vec{v}). \vec{u} & = 0 \\ (4k + 2, 10k - 1, 2- 8k) . (2, -1, 2) & = 0 \\ 8k + 4 + (-10k) + 1 + 4 - 16k & = 0 \\ -18k & = - 9 \\ k & = \frac{1}{2} \end{align} $
artinya $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dengan $ k = \frac{1}{2} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul ?
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{-18}{3 \times 6\sqrt{5} } < 0 $
Karena $ \cos \theta < 0 $ , maka $ \theta $ sudut tumpul
Pernyataan (2) BENAR.

(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $ ?
$\begin{align} || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || & = \left| \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{-18}{3} \right| = |-6| = 6 \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.

(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $ ?
Sesuai konsep dasar di atas, maka pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (2) dan (3). Tidak ada jawaban sesuai petunjuk C.
Jadi, pernyataan (2), dan (3) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar