2010 Pembahasan Persamaan Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ penyelesaian persamaan $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $, maka $ \alpha + \beta = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat Logartima :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Jumlah akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Persamaan logaritmanya :
$\begin{align} {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) & = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) \\ {}^2 \log (x+7) + 1 & = {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \\ {}^2 \log (x+7) + {}^2 \log 2 & = {}^2 \log x(x-3) \\ {}^2 \log 2(x+7) & = {}^2 \log x(x-3) \\ 2(x+7) & = x(x-3) \\ 2x + 14 & = x^2 - 3x \\ x^2 - 5x - 14 & = 0 \\ \end{align} $
*). Persamaan kuadrat $ x^2 - 5x - 14 = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $ , sehingga :
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta = 5 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan :
*). Dari bentuk $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $ , maka syarat nilai $ x $ haruslah positif, sehingga jika kita cari akar-akar persamaan $ x^2 - 5x - 14 = 0 $ yaitu :
$ \begin{align} x^2 - 5x - 14 & = 0 \\ (x + 2)(x - 7) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 7 \end{align} $
*). Karena nilai $ x $ positif, maka yang memenuhi hanya $ x = 7 $. Sehingga hanya ada satu akar yang memenuhi dan penjumlahannya juga hasilnya adalah 7, artinya tidak ada jawaban pada optionnya.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jawaban akhirnya adalah 7.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar