2010 Pembahasan Ruang Lingkup UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah suku-suku pertama dan kedua barisan geometri dengan rasio 3, yang nilainya merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ . Syarat agar $ x_1 , x_2, k+y $ merupakan barisan aritmetika adalah $ y = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan Geometri : Rasio $ = \frac{U_2}{U_1} $
*). Persamaan keadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} , \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} , \, $ dan $ x_1 -x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Barisan Aritmetika : Selisih sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah $ U_1 $ dan $ U_2 $ dengan $ r = 3 $.
$ r = \frac{U_2}{U_1} \rightarrow 3 = \frac{x_2}{x_1} \rightarrow x_2 = 3x_1 \, $ ....(i)
*). PK : $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-16)}{1} \\ x_1 + x_2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ x_1 .x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{5k+3}{1} \\ x_1 .x_2 & = 5k+3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 16 \\ x_1 + 3x_1 & = 16 \\ 4x_1 & = 16 \\ x_1 & = 4 \\ x_2 & = 3x_1 = 3.4 = 12 \end{align} $
Dari pers(iii):
$ x_1.x_2 = 5k+3 \rightarrow 4.12 = 5k+3 \rightarrow k = 9 $
*). Barisan aritmetikanya : $ x_1, \, x_2, \, k + y $
yaitu $ 4, \, 12, \, 9 + y $ .
Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama
$\begin{align} 9 + y - 12 & = 12 - 4 \\ y - 3 & = 8 \\ y & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ y = 11 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar