Cara 2 Pembahasan Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara L'Hopital (cara turunan).
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} $
$ y = \sqrt[3]{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \, \, \, \, \, \text{(turnan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}(1+0)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+0)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar