Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{2} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-3}{2} $
*). Karena berkebalikan, maka akar-akar dari $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $ adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2 = \frac{1}{y_2} $.
-). Operasi akar-akar, dan kita gunakan persamaan kuadrat pertama :
Perkalian $ y_1.y_2 $ :
$ \begin{align} y_1.y_2 & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{\frac{-3}{2}} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{-2}{3} & = \frac{2b}{3} \\ -2 & = 2b \\ b & = -1 \end{align} $
Penjumlahan $ y_1 + y_2 $ :
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-(-5)}{3} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{-a}{2}}{\frac{-3}{2}} & = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{3} & = \frac{5}{3} \\ a & = 5 \end{align} $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar