Pembahasan Lingkaran UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah lingkaran L : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $. Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat $ = (a,b) = \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
*). Jarak dua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B (x_2,y_2) $ :
jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $
$ A = 0 , B = 1 $ dan $ C = -24 $
-). Titik pusat $ (a,b) $ :
$ (a,b) = \left( -\frac{0}{2}, -\frac{1}{2} \right) = \left( 0, -\frac{1}{2} \right) $
-). Jari-jari $ ( r) $ :
$ r^2 = 0^2 + \left(-\frac{1}{2} \right)^2 - (-24) = \frac{1}{4} + 24 = \frac{97}{4} $
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Dari gambar, melalui titik P dibuat garis singgung lingkaran yaitu garis $ k $ dan garis $ l $. Titik singgung garis $ k $ pada lingkaran adalah titik B. Sehingga jarak titik P ke titik singgungnya adalah jarak P ke B atau panjang PB.
*). Perhatikan segitiga PAB siku-siku di B.
-). Panjang PA = jarak P ke A :
$ \begin{align} PA^2 & = (1-0)^2 + (6 - (-\frac{1}{2}))^2 \\ & = 1 + (\frac{13}{2})^2 = 1 + \frac{169}{4} = \frac{173}{4} \end{align} $
-). Panjang AB $ = r \rightarrow AB^2 = r^2 = \frac{97}{4}$
-). Panjang PB dengan pythagoras pada segitiga PAB:
$ \begin{align} PB & = \sqrt{PA^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{ \frac{173}{4} - \frac{97}{4} } = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, jarak P ke titik singgungnya adalah $ \sqrt{19} . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawaban).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar