Pembahasan Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga ABC dengan $ \angle ACB = 105^\circ $, $ \angle ABC = 45^\circ $, dan $ AB = \sqrt{2}+\sqrt{6} $ cm. Panjang sisi BC sama dengan ....
A). $ \sqrt{3} \, $ cm
B). $ \sqrt{6} \, $ cm
C). $ 2 \, $ cm
D). $ 3 \, $ cm
E). $ 2\sqrt{2} \, $ cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
*). Aturan sinus :
$ \frac{a}{\sin A } = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan besar sudut A pada segitga ABC dengan $ \angle B = 45^\circ $ dan $ \angle C = 105^\circ $ :
$ \begin{align} \text{jumlah sudut segitiga } & = 180^\circ \\ \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ + 105^\circ & = 180^\circ \\ \angle A + 150^\circ & = 180^\circ \\ \angle A & = 30^\circ \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \sin 105^\circ $ :
$ \begin{align} \sin 105^\circ & = \sin (60 ^\circ + 45^\circ ) \\ & = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3}. \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) = \frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} ) \end{align} $
*). Menentukan BC dengan aturan sinus :
$ \begin{align} \frac{BC}{\sin \angle A} & = \frac{AB}{\sin \angle C} \\ \frac{BC}{\sin 30^\circ } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin 105^\circ } \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} )} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{1}{\frac{1}{4}} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = 4 \\ BC & = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \end{align} $
Jadi, panjang BC $ = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar