Pembahasan Vektor UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
-). Panjang vektro $ \vec{u} = | \vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
-). Perkalian silang $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $
-). Pada perkalian silang :
Lambang $ |A| = \, $ determinan matriks A (Cara Sarrus)
*). Vektor $ \vec{w} $ yang tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{w} = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \\ & = (i -j + 2k) - (k -2j + i) \\ & = j + k = (0, 1, 1) \end{align} $
*). Menentukan panjang $ \vec{u} \times \vec{v} = (0,1,1) $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v} | & = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $\vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} } (0,1,1) \\ & = \frac{1}{2 } \sqrt{2} (0,1,1) \\ & = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{w} = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar