Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara merasionalkan.
*). Bentuk pemfaktoran :
1). $ (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a}+1) = a - 1 $
2). $ (\sqrt[3]{a} - 1)((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a} + 1) = a - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \times \frac{\sqrt{1 + x} + 1 }{\sqrt{1 + x} + 1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{(1 + x) - 1 }{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \times \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)((1+x) - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)} \\ & = \frac{((\sqrt[3]{1 + 0})^2 + \sqrt[3]{1 + 0} + 1) }{(\sqrt{1 + 0} + 1)} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar