Pembahasan Ketaksamaan Pecahan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ k $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ adalah ....
A). $ 0 < k < 4 \, $
B). $ -2 < k < 2 \, $
C). $ k < -2 \, $ atau $ k > 2 $
D). $ 0 < k < 2 \, $
E). $ k < 0 \, $ atau $ k > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ a < f(x) < b $ diselesaikan dengan $ f(x) > a $ dan $ f(x) < b $ kemudian kedua HP diiriskan.
*). Definit pada bentuk kuadrat :
i). Jika $ ax^2 + bx + c > 0 $ untuk semua $ x $, maka disebut definit positif dengan syarat $ a > 0 $ dan $ D < 0 $.
ii). Jika $ ax^2 + bx + c < 0 $ untuk semua $ x $, maka disebut definit negatif dengan syarat $ a < 0 $ dan $ D < 0 $.
Dimana nilai $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ dipecah menjadi dua yaitu $ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > 0 $ dan $ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $, kita selesaikan masing-masing.
*). Bentuk $ x^2 + x + 1 $ adalah definti positif karena $ a = 1 > 0 $ dan nilai $ D = b^2-4ac = 1^2 - 4.1.1 = -3 < 0 $, sehingga bisa kita abaikan karena nilainya akan selalu positif untuk semua $ x $ yang kita substitusikan.
*). Bentuk Pertama :
$\begin{align} \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} & > 0 \\ x^2+kx+1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(Def +)} \\ a = 1, b = k , c & = 1 \\ \text{syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ k^2 - 4.1.1 & < 0 \\ k^2 - 4 & < 0 \\ (k + 2)(k - 2) & = 0 \\ k = -2 \vee k & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : HP1 $ = \{ -2 < k < 2 \} $
*). Bentuk Kedua :
$\begin{align} \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} & < 2 \\ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} - 2 & < 0 \\ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} - \frac{2(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} & < 0 \\ \frac{-x^2+(k-2)x-1}{x^2+x+1} & < 0 \\ -x^2+(k-2)x-1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(Def -)} \\ a = -1, b = k-2 , c & = -1 \\ \text{syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (k-2)^2 - 4.(-1).(-1) & < 0 \\ k^2 - 4k + 4 - 4 & < 0 \\ k^2 - 4k & < 0 \\ k(k - 4) & = 0 \\ k = 0 \vee k & = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : HP2 $ = \{ 0 < k < 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ -2 < k < 2 \} \cap \{ 0 < k < 4 \} \\ & = \{ 0 < k < 2 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ k $ adalah $ 0 < k < 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar