Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ g(2f(x)) = 2x -1 $
dan $ f(x-2) = x+ 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(-1). g^{-1}(-1) $ adalah ...
A). $ -60 \, $ B). $ -50 \, $ C). $ -40 \, $ D). $ -30 \, $ E). $ -20 $
A). $ -60 \, $ B). $ -50 \, $ C). $ -40 \, $ D). $ -30 \, $ E). $ -20 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x-2) = x + 3 $ :
$\begin{align} f(x-2) & = x + 3 \\ f^{-1}(x+3) & = x - 2 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(-1) $ , maka $ x + 3 = -1 \rightarrow x = -4 $ :
$\begin{align} x = -4 \rightarrow f^{-1}(x+3) & = x - 2 \\ f^{-1}(-4+3) & = -4 - 2 \\ f^{-1}(-1) & = -6 \end{align} $
*). Fungsi $ g(2f(x)) = 2x -1 $ :
$\begin{align} g(2f(x)) & = 2x -1 \\ g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(-1) $ , maka $ 2x-1 = -1 \rightarrow x = 0 $ :
-). Dari bentuk $ f(x-2) = x + 3 $, agar memperoleh nilai $ f(0) $ , maka $ x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 $
$ f(x-2) = x + 3 \rightarrow f(2-2) = 2 + 3 \rightarrow f(0) = 5 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \\ g^{-1}(2.0 - 1) & = 2f(0) \\ g^{-1}( - 1) & = 2\times 5 \\ g^{-1}( - 1) & = 10 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) $ :
$\begin{align} f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) & = (-6) \times 10 = -60 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) = -60 . \, \heartsuit $
*). Fungsi $ f(x-2) = x + 3 $ :
$\begin{align} f(x-2) & = x + 3 \\ f^{-1}(x+3) & = x - 2 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(-1) $ , maka $ x + 3 = -1 \rightarrow x = -4 $ :
$\begin{align} x = -4 \rightarrow f^{-1}(x+3) & = x - 2 \\ f^{-1}(-4+3) & = -4 - 2 \\ f^{-1}(-1) & = -6 \end{align} $
*). Fungsi $ g(2f(x)) = 2x -1 $ :
$\begin{align} g(2f(x)) & = 2x -1 \\ g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(-1) $ , maka $ 2x-1 = -1 \rightarrow x = 0 $ :
-). Dari bentuk $ f(x-2) = x + 3 $, agar memperoleh nilai $ f(0) $ , maka $ x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 $
$ f(x-2) = x + 3 \rightarrow f(2-2) = 2 + 3 \rightarrow f(0) = 5 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \\ g^{-1}(2.0 - 1) & = 2f(0) \\ g^{-1}( - 1) & = 2\times 5 \\ g^{-1}( - 1) & = 10 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) $ :
$\begin{align} f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) & = (-6) \times 10 = -60 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) = -60 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.