Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persegi panjang ABCD dengan ukuran panjang 12 cm dan lebar 8 cm. Pada masing-masing sisi, ditetapkan sebuah titik sejauh $ x $ cm dari setiap titik sudut, sehingga terbentuk sebuah segiempat PQRS seperti tampak pada gambar. Luas terkecil yang mungkin dari segiempat PQRS adalah ... cm$^2$.
A). $ 40 \, $ B). $ 46 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 85 $
Diketahui persegi panjang ABCD dengan ukuran panjang 12 cm dan lebar 8 cm. Pada masing-masing sisi, ditetapkan sebuah titik sejauh $ x $ cm dari setiap titik sudut, sehingga terbentuk sebuah segiempat PQRS seperti tampak pada gambar. Luas terkecil yang mungkin dari segiempat PQRS adalah ... cm$^2$.
A). $ 40 \, $ B). $ 46 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 85 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep penggunaan turunan :
Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ diperoleh pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(Turunan pertama $ = 0 $).
*). Luas bangun datar :
Luas persegi panjang $ = $ panjang $ \, \times \, $ lebar
Luas segitiga $ = \frac{\text{alas} \times \text{tinggi}}{2} $
*). Konsep penggunaan turunan :
Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ diperoleh pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(Turunan pertama $ = 0 $).
*). Luas bangun datar :
Luas persegi panjang $ = $ panjang $ \, \times \, $ lebar
Luas segitiga $ = \frac{\text{alas} \times \text{tinggi}}{2} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar detailnya :
*). Menentukan fungsi luas PQRS :
-). Luas PQRS diperoleh dengan mengurangkan luas persegi panjang ABCD dengan empat segitiga-segitiga kecil.
$\begin{align} L_{PQRS} & = L_{ABCD} - \left( 2L_{BSR} + 2L_{APS} \right) \\ & = 12 \times 8 - \left( 2\times \frac{(12-x).x}{2} + 2\times \frac{(8-x).x}{2} \right) \\ & = 96 - \left( (12-x).x + (8-x).x \right) \\ & = 96 - \left( 12x - x^2 + 8x - x^2 \right) \\ & = 96 - \left( 20x - 2x^2 \right) \\ L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ L^\prime _{PQRS} & = 4x - 20 \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ L^\prime _{PQRS} = 0 $ :
$\begin{align} L^\prime _{PQRS} & = 0 \\ 4x - 20 & = 0 \\ 4x & = 20 \\ x & = \frac{20}{4} = 5 \end{align} $
Artinya $ L_{PQRS} $ minimum pada saat $ x = 5 $.
*). Menentukan luas minimum PQRS dengan $ x = 5 $ :
$\begin{align} L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ & = 2.5^2 - 20.5 + 96 \\ & = 50 - 100 + 96 \\ & = 46 \end{align} $
Jadi, luas terkecil PQRS adalah 46 cm$^2 . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar detailnya :
*). Menentukan fungsi luas PQRS :
-). Luas PQRS diperoleh dengan mengurangkan luas persegi panjang ABCD dengan empat segitiga-segitiga kecil.
$\begin{align} L_{PQRS} & = L_{ABCD} - \left( 2L_{BSR} + 2L_{APS} \right) \\ & = 12 \times 8 - \left( 2\times \frac{(12-x).x}{2} + 2\times \frac{(8-x).x}{2} \right) \\ & = 96 - \left( (12-x).x + (8-x).x \right) \\ & = 96 - \left( 12x - x^2 + 8x - x^2 \right) \\ & = 96 - \left( 20x - 2x^2 \right) \\ L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ L^\prime _{PQRS} & = 4x - 20 \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ L^\prime _{PQRS} = 0 $ :
$\begin{align} L^\prime _{PQRS} & = 0 \\ 4x - 20 & = 0 \\ 4x & = 20 \\ x & = \frac{20}{4} = 5 \end{align} $
Artinya $ L_{PQRS} $ minimum pada saat $ x = 5 $.
*). Menentukan luas minimum PQRS dengan $ x = 5 $ :
$\begin{align} L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ & = 2.5^2 - 20.5 + 96 \\ & = 50 - 100 + 96 \\ & = 46 \end{align} $
Jadi, luas terkecil PQRS adalah 46 cm$^2 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.