Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f(x) = \frac{1}{x+a} $ , $ g(x) = x^2 + b $,
$ (f \circ g) (1) = \frac{1}{2} $ , dan $ (g \circ f)(1) = 2 $ ,
maka nilai $ ab $ adalah ...
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 2 $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 2 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Sifat eksponen :
$ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $
$ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Sifat eksponen :
$ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $
$ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ f(x) = \frac{1}{x+a} $ dan $ g(x) = x^2 + b $
Kita peroleh :
$ g(1) = 1^2 + b = 1 + b $
$ f(1+b) = \frac{1}{1+b+a} $
$ f(1) = \frac{1}{1+a} $
$ g \left( \frac{1}{1+a} \right) = \left( \frac{1}{1+a} \right)^2 + b = \frac{1}{(1+a)^2} +b $
*). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} (f \circ g)(1) & = \frac{1}{2} \\ f (g(1)) & = \frac{1}{2} \\ f (1+b) & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{1+b+a} & = \frac{1}{2} \\ 1+b+a & = 2 \\ b & = 1 - a \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun persamaan Kedua:
$\begin{align} (g \circ f)(1) & = 2 \\ g(f(1)) & = 2 \\ g\left( \frac{1}{1+a} \right) & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} +b & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} \frac{1}{(1+a)^2} +b & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} +(1-a) & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} & = 1 + a \\ 1 & = (1+a)^3 \\ 1 + a & = \sqrt[3]{1} \\ 1 + a & = 1 \\ a & = 0 \end{align} $
Pers(i) : $ b = 1 - a = 1 - 0 = 1 $
Sehingga nilai $ ab = 0 \times 1 = 0 $
Jadi, nilai $ ab = 0 . \, \heartsuit $
*). Diketahui : $ f(x) = \frac{1}{x+a} $ dan $ g(x) = x^2 + b $
Kita peroleh :
$ g(1) = 1^2 + b = 1 + b $
$ f(1+b) = \frac{1}{1+b+a} $
$ f(1) = \frac{1}{1+a} $
$ g \left( \frac{1}{1+a} \right) = \left( \frac{1}{1+a} \right)^2 + b = \frac{1}{(1+a)^2} +b $
*). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} (f \circ g)(1) & = \frac{1}{2} \\ f (g(1)) & = \frac{1}{2} \\ f (1+b) & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{1+b+a} & = \frac{1}{2} \\ 1+b+a & = 2 \\ b & = 1 - a \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun persamaan Kedua:
$\begin{align} (g \circ f)(1) & = 2 \\ g(f(1)) & = 2 \\ g\left( \frac{1}{1+a} \right) & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} +b & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} \frac{1}{(1+a)^2} +b & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} +(1-a) & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} & = 1 + a \\ 1 & = (1+a)^3 \\ 1 + a & = \sqrt[3]{1} \\ 1 + a & = 1 \\ a & = 0 \end{align} $
Pers(i) : $ b = 1 - a = 1 - 0 = 1 $
Sehingga nilai $ ab = 0 \times 1 = 0 $
Jadi, nilai $ ab = 0 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.