Soal yang Akan Dibahas
Jika $ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $ dan $ f(x) $ merupakan fungsi dengan
$ (f \circ g)(x) = \frac{2x-1}{x-1} $ , maka himpunan penyelesaian $ 1 \leq f(x) \leq 6 $
adalah ...
A). $ \{ x | -2 \leq x \leq -1 \text{ atau } 1 \leq x \leq 2 \} \, $
B). $ \{ x | -2 \leq x \leq 0 \text{ atau } x \geq 1 \} \, $
C). $ \{ x | -2 \leq x \leq 2 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ \{ x | 0 \leq x \leq 2 \} \, $
A). $ \{ x | -2 \leq x \leq -1 \text{ atau } 1 \leq x \leq 2 \} \, $
B). $ \{ x | -2 \leq x \leq 0 \text{ atau } x \geq 1 \} \, $
C). $ \{ x | -2 \leq x \leq 2 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ \{ x | 0 \leq x \leq 2 \} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B \leq C $ memiliki penyelesaian :
$ A \leq B $ dan $ B \leq C $.
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B \leq C $ memiliki penyelesaian :
$ A \leq B $ dan $ B \leq C $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
-). Misalkan :
$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = p \rightarrow \sqrt{x - 1} = \frac{1}{p} $
$ x - 1 = \frac{1}{p^2} \rightarrow x = \frac{1}{p^2} + 1 $
-). Substitusi permisalannya :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f(g(x)) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f \left( \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f ( p ) & = \frac{2\left( \frac{1}{p^2} + 1 \right) -1}{\frac{1}{p^2} + 1 -1} \\ f ( p ) & = \left( \frac{2}{p^2} + 1 \right) . p^2 \\ f ( p ) & = p^2 + 2 \\ f ( x ) & = x^2 + 2 \\ \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} 1 \leq & f(x) \leq 6 \\ 1 \leq & x^2 + 2 \leq 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kurang 2)} \\ 1 - 2 \leq & x^2 + 2 -2 \leq 6 -2 \\ -1 \leq & x^2 \leq 4 \end{align} $
-). Pertama : $ -1 \leq x^2 $ memiliki penyelesaian untuk semua bilangan real $ x $. $ HP_1 = \{ x \in R \} $
-). Kedua : $ x^2 \leq 4 $
$\begin{align} x^2 & \leq 4 \\ x^2 - 4 & \leq 0 \\ (x+2)(x-2) & \leq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Garis bilangannya :
$ HP_2 = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 = \{ x \in R \} \cap \{ -2 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ -2 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ -2 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
-). Misalkan :
$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = p \rightarrow \sqrt{x - 1} = \frac{1}{p} $
$ x - 1 = \frac{1}{p^2} \rightarrow x = \frac{1}{p^2} + 1 $
-). Substitusi permisalannya :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f(g(x)) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f \left( \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f ( p ) & = \frac{2\left( \frac{1}{p^2} + 1 \right) -1}{\frac{1}{p^2} + 1 -1} \\ f ( p ) & = \left( \frac{2}{p^2} + 1 \right) . p^2 \\ f ( p ) & = p^2 + 2 \\ f ( x ) & = x^2 + 2 \\ \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} 1 \leq & f(x) \leq 6 \\ 1 \leq & x^2 + 2 \leq 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kurang 2)} \\ 1 - 2 \leq & x^2 + 2 -2 \leq 6 -2 \\ -1 \leq & x^2 \leq 4 \end{align} $
-). Pertama : $ -1 \leq x^2 $ memiliki penyelesaian untuk semua bilangan real $ x $. $ HP_1 = \{ x \in R \} $
-). Kedua : $ x^2 \leq 4 $
$\begin{align} x^2 & \leq 4 \\ x^2 - 4 & \leq 0 \\ (x+2)(x-2) & \leq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Garis bilangannya :
$ HP_2 = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 = \{ x \in R \} \cap \{ -2 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ -2 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ -2 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.