Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $, P dan Q masing-masing titik tengah HG dan EH. Sedangkan R titik tengah PQ. Jika BT adalah proyeksi BR pada bidang ABCD, maka jarak T dengan bidang QBP adalah ....
A). $ \frac{4a}{17}\sqrt{17} \, $ B). $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} \, $ C). $ \frac{2a}{17}\sqrt{17} \, $ D). $ \frac{3a}{13}\sqrt{13}\, $ E). $ \frac{a}{7}\sqrt{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Dimensi Tiga :
*). Hasil proyeksi garis ke bidang adalah berupa garis. Silahkan baca materinya lebih mendalam pada artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang".
*). Menghitung jarak bisa menggunakan konsep luas segitiga
Luas $ = \frac{1}{2} \text{ alas } \times \text{ tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Hasil proyeksi BR pada bidang alas adalah BT.
Jarak T ke bidang BPQ adalah panjang TM.
Segitiga BTR siku-siku di T.
Panjang $ TR = a $
Panjang $ BD = a\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
$ BT = \frac{3}{4}BD = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
$ BR = \sqrt{BT^2 + TR ^2 } = \sqrt{(\frac{3}{4}a\sqrt{2})^2 + a^2} $
$ BR = \sqrt{\frac{18}{16}a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{34}{16}a^2} = \frac{1}{4}a\sqrt{34} $
*). Menentukan panjang TM dengan luas segitiga BTR:
$ \begin{align} \text{Luas BTR, alas BR } & = \text{ Luas BTR, alas BT} \\ \frac{1}{2}. BR . TM & = \frac{1}{2} . BT . TR \\ BR . TM & = BT . TR \\ \frac{1}{4}a\sqrt{34} . TM & = \frac{3}{4}a\sqrt{2} . a \\ \sqrt{34} . TM & = 3a\sqrt{2} \\ \sqrt{2}\sqrt{17} . TM & = 3a\sqrt{2} \\ \sqrt{17} . TM & = 3a \\ TM & = \frac{3a}{\sqrt{17}} = \frac{3a}{17}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar