Pembahasan Program Linear Gradien UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Agar fungsi $ f(x,y) = 3x + by $ dengan kendala $ x+y \leq 7 $ , $ x + 2y \leq 10 $ , $ x \geq 0 $ , dan $ y \geq 0 $ mencapai maksimum hanya di titik (4,3), maka nilai $ b $ haruslah ....
A). $ 1 < b < 5 \, $
B). $ 3 < b < 7 \, $
C). $ 3 < b < 9 $
D). $ -9 < b < -3 $
E). $ -5 < b < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program linear metode Gradien :
*). Jika nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif (tujuan) terletak hanya di titik perpotongan kedua kendala, maka gradien fungsi objektif ada diantara gradien kedua kendalanya. Bisa ditulis :
$ \, \, \, \, \, m_1 < m_{obj} < m_2 $.
Keterangan :
$ m_1 = \, $ gradien kendala 1,
$ m_2 = \, $ gradien kendala 2,
$ m_{obj} = \, $ gradien fungsi objektif.
*). Graadien dari bentuk $ ax + by $ adalah $ m = - \frac{a}{b} $.
*). Untuk lebih jelasnya tentang teori metode gradien ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "program linear : Nilai optimum dengan metode gradien".
*). Sifat pertidaksamaan :
i). Kali negatif, tanda ketaksamaan dibalik.
ii). Jika $ a, b, c, d $ adalah positif, maka
$ a > \frac{b}{c} > d \, $ bisa diubah $ \frac{1}{a} < \frac{c}{b} < \frac{1}{d} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek letak titik (4,3) ke kedua kendala :
$ x + y = 4 + 3 = 7 \, $ (Benar) dan $ x + 2y = 4 + 2.3 = 10 \, $ (Benar)
Artinya titik (4,3) ada pada perpotongan kedua garis.
*). Menentukan gradien masing-masing :
kendalanya :
$ x + y = 7 \rightarrow m_1 = -\frac{1}{1} = -1 $
$ x + 2y = 10 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{2} $
Fungsi objektifnya :
$ f(x,y) = 3x + by \rightarrow m_{obj} = - \frac{3}{b} $.
*). Menentukan rentang nilai $ b $ :
$ \begin{align} m_1 < & m_{obj} < m_2 \\ -1 < & -\frac{3}{b} < -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali -2, tanda dibalik)} \\ 2 > & \frac{6}{b} > 1 \, \, \, \, \, \text{(ubah tengah, tanda dibalik)} \\ \frac{1}{2} < & \frac{b}{6} < 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3 < & b < 6 \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ 3 < b < 6 . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar