Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua fungsi rasional $ y = \frac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4} $ dan $ y = \frac{ax^2 - 3x + 2}{bx^2 + 2x -3} $ , $ a > 0 $ . Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka $ a = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot mendatar kedua fungsi :
-). Persamaan pertama : $ y = \frac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4} $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4} \rightarrow y = \frac{3}{1} \rightarrow y = 3 \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ y = \frac{ax^2 - 3x + 2}{bx^2 + 2x -3} $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ax^2 - 3x + 2}{bx^2 + 2x -3} \rightarrow y = \frac{a}{b} \end{align} $
*). Asimtot datar berjarak $ 4 $ dengan $ a > 0 $ , sehingga :
$\begin{align} \frac{a}{b} - 3 & = 4 \rightarrow \frac{a}{b} = 7 \rightarrow a = 7b \end{align} $
*). Menentukan asimtot tegak :
Asimtot tegak adalah akar-akar dari penyebut fungsinya , sehingga :
-). Persamaan pertama penyebutnya : $ x^2-5x+4 $
$ x^2-5x+4 = 0 \rightarrow (x - 1)(x - 4) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 4 $
Sehingga persamaan asimtot tegak fungsi pertama adalah $ x = 1 $ dan $ x = 4 $.
-). Persamaan kedua penyebutnya : $ bx^2 + 2x -3 = 0 $,
Karena salah satu asimtot tegak kedua fungsi sama, maka salah satu akar penyebut dari kedua fungsi sama. Kita bagi menjadi dua kasus berdasarkan akar-akar penyebut fungsi pertama, yaitu :
(i). untuk $ x = 1 $, penyebut fungsi kedua
$ bx^2 + 2x -3 = 0 \rightarrow b.1^2 + 2.1 -3 = 0 \rightarrow b = 1 $
(ii). untuk $ x = 4 $, penyebut fungsi kedua
$ bx^2 + 2x -3 = 0 \rightarrow b.4^2 + 2.4 -3 = 0 \rightarrow b = -\frac{5}{16} $
Karena $ a > 0 $ , maka yang memenuhi $ b = 1 $
Sehingg anilai $ a = 7b = 7 . 1 = 7 $.
Jadi, nilai $ a = 7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar