Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} = .... $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $
*). Bentuk trigonometri :
$ \cos py = 1 - 2\sin \frac{1}{2}py . \sin \frac{1}{2}py $ ,
sehingga : $ 1 - \cos y = \sin \frac{1}{2}y. \sin \frac{1}{2}y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin \frac{1}{2}y. \sin \frac{1}{2}y }{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin \frac{1}{2}y }{\sin y} \times \sin \frac{1}{2}y \\ & = \frac{ \frac{1}{2} }{1} \times \sin \, 0 \\ & = \frac{1}{2} \times 0 = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar