Tampilkan postingan dengan label matipa kode 166 tahun 2017. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa kode 166 tahun 2017. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $ dan $ 3\tan ^2 x + \tan x = 3 $, maka nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{\sqrt{37}} \, $ B). $ \frac{1}{\sqrt{38}} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{39}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt{40}} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{41}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $
$ \tan 2 x = \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x } $
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan : Cara 2
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$\begin{align} 3\tan ^2 x + \tan x & = 3 \\ \tan x & = 3 - 3\tan ^2 x \\ \tan x & = 3 ( 1 - \tan ^2 x ) \\ \frac{\tan x}{1 - \tan ^2 x} & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} & = 6 \\ \tan 2x & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ dari $ \tan 2x = 6 = \frac{6}{1} = \frac{depan}{samping} $ :
Segitiga siku-sikunya :

Nilai $ \cos 2x = \frac{samping}{miring} = \frac{1}{\sqrt{37}} $.
Sehingga $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{37}} $.
Jadi, nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \frac{1}{\sqrt{37}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ adalah gradien garis singgung dari kurva $ y = (x-1)^2 + 1 $ yang melalui $(0,t) $ , maka $ m = .... $
A). $ -2\pm \sqrt{2-2t} \, $
B). $ 2\pm \sqrt{2-2t} \, $
C). $ -2\pm \sqrt{2-t} \, $
D). $ 2\pm 2\sqrt{2-t} \, $
E). $ -2\pm 2\sqrt{2-t} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). syarat garis menyinggung parabola yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui garis singgung melalui titik $(0,t)$ dan menyinggung parabola $ y = (x-1)^2 + 1 $.
*). Misalkan persamaan garis singgungnya $ y = mx + c $.
*). Substitusi titik $(0,t) $ ke garis singgung :
$\begin{align} y & = mx + c \\ t & = m.0 + c \\ t & = c \end{align} $
Sehingga garisnya $ y = mx + t $.
*). Garis menyingung parabola :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ (x-1)^2 + 1 & = mx + t \\ x^2 - 2x + 1 + 1 & = mx + t \\ x^2 - 2x + 2 - mx - t & = 0 \\ x^2 - (m+2)x + (2 - t) & = 0 \\ \text{Syarat } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(m+2)]^2 - 4.1.(2-t) & = 0 \\ (m+2)^2 - 4(2-t) & = 0 \\ (m+2)^2 & = 4(2-t) \\ (m+2) & = \pm \sqrt{4(2-t)} \\ (m+2) & = \pm 2\sqrt{2-t} \\ m & = -2 \pm 2\sqrt{2-t} \end{align} $
Jadi, nilai $ m = -2 \pm 2\sqrt{2-t} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \cos (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \sin (\cos ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
C). $ \sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 x. \sin (\cos ^2x) \, $
E). $ 2\sin ^2x. \sin (\cos ^2x) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ 2\sin x . \cos x = \sin 2x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) \sin g(x) $.
$ y = \cos ^n x \rightarrow y^\prime = -n \sin x . \cos ^{n-1} x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \cos ^2 x $ , Turunannya :
$ g^\prime (x) = -2.\sin x .\cos x = -\sin 2x $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = \cos (\cos ^2 x ) \\ f(x) & = \cos ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = -g^\prime (x) \sin ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = - (-\sin 2x) .\sin (\cos ^2 x) \\ f^\prime (x) & = \sin 2x .\sin (\cos ^2 x) \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = \sin 2x .\sin (\cos ^2 x) . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki dua asimtot tegak jika penyebutnya hanya mempunyai dua faktor yang berbeda.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan bentuk $ x^3 -3x+2 $ .
$\begin{align} x^3 -3x+2 & = x^3 -x^2 + x^2 -3x+2 \\ & = (x^3 -x^2) + (x^2 -3x+2) \\ & = x^2(x-1) + (x-1)(x-2) \\ & = (x-1)(x^2+x-2) \\ & = (x-1)(x-1)(x+2) \end{align} $
*). Kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} = \frac{(x-1)(x-1)(x+2)}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $.
*). Penyebutnya $ \frac{1}{a}x(x^2-ax-6) $ mempunyai faktor $ x $ dan $ (x^2-ax-6) $ dimana $ (x^2-ax-6) $ terdiri dari dua faktor sehingga penyebut totalnya memiliki tiga faktor.
*). Agar penyebutnya hanya mempunyai dua faktor maka salah satu faktor dari $ (x^2-ax-6) $ harus sama dengan faktor dari pembilangnya yaitu $(x-1)$ atau $(x+2)$.
*). Salah satu faktor $(x^2-ax-6) $ adalah $ (x-1) $ pada saat $ a = 5 $ yaitu :
$ x^2 - ax - 6 = x^2-5x-6=(x-1)(x+6) $ .
Persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{5}x(x^2-5x-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{5}x^3-x^2-\frac{6}{5}x} \\ y & = \frac{1}{\frac{1}{5}} \\ y & = 5 \, \, \, \, \, \text{(tidak ada pada optionnya)} \end{align} $
*). Salah satu faktor $(x^2-ax-6) $ adalah $ (x+2) $ pada saat $ a = 1 $ yaitu :
$ x^2 - ax - 6 = x^2-1x-6=(x+2)(x-3) $ .
Persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{1}x(x^2-1x-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{x^3-x^2-6x} \\ y & = \frac{1}{1} \\ y & = 1 \end{align} $
Jadi, asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} px $
Sehingga :
$ 1 - \cos \frac{2}{x} = 1 - (1-2\sin ^2 (\frac{1}{2}.\frac{2}{x} ) = 2\sin ^2 \frac{1}{x} $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{bc} = \frac{a . \frac{1}{b}}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x} . \frac{1}{x^2} }{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin 3\frac{1}{x} \, . (\frac{1}{x})^2 }{\left(2\sin ^2 \frac{1}{x} \right).\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y . y^2 }{\left(2\sin ^2 y \right).\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \left( \frac{1}{2}.\frac{\sin 3y}{\sin y} .\frac{y}{\sin y} .\frac{y}{\sin y} \right) \\ & = \frac{1}{2}. \frac{3}{1}. 1.1 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x \sec x + \sin x}{x (\cos x - 1)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b} $.
*). RUmus dasar Trigonometri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \, $ dan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{bc} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} -\tan x \sec x + \sin x & = -\frac{\sin x}{\cos x} . \frac{1}{\cos x} + \sin x \\ & = -\frac{\sin x}{\cos ^2 x} + \sin x \\ & = \frac{-\sin x + \sin x \cos ^2 x }{\cos ^2 x} \\ & = \frac{-\sin x ( 1 - \cos ^2 x ) }{\cos ^2 x} \\ & = \frac{-\sin x .\sin ^2 x }{\cos ^2 x} \\ & = \frac{-\sin ^3 x }{\cos ^2 x} \\ \cos x - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x \sec x + \sin x}{x (\cos x - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin ^3 x }{\cos ^2 x} }{x(- 2\sin ^2 \frac{1}{2} x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ^3 x }{ 2x\sin ^2 \frac{1}{2} x . \cos ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x }{ 2x}.\frac{\sin x }{ \sin \frac{1}{2} x }. \frac{\sin x }{ \sin \frac{1}{2} x }.\frac{1}{ \cos ^2 x} \right) \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{\frac{1}{2}}.\frac{1}{\frac{1}{2}}. \frac{1}{ \cos ^2 0} \\ & = \frac{1}{2} .2.2. \frac{1}{ 1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) $ dan $ 4a = b $ , maka $ Q(x) = .... $
A). $ x^2 - 2x - 34 \, $
B). $ x^2 + 2x + 34 \, $
C). $ x^2 - 4x + 60 \, $
D). $ 4x^2 + 2x + 34 \, $
E). $ 4x^2 + 4x - 60 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan hasil pembagian suatu suku banyak (polinom), bisa menggunakan cara bersusun atau skema horner.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). pada soal diketahui persamaan :
$ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) \, $ ....(i).
$ b = 4a \, $ ....(ii).
*). Kita Substitusikan $ x = 2 $ ke pers(i) :
$\begin{align} ax^3 + 30x + 8b & = (x-2)Q(x) + 20(a+b) \\ a.2^3 + 30.2 + 8b & = (2-2)Q(2) + 20(a+b) \\ 8a + 60 + 8b & = 0 + 20a+20b \\ 12a +12b & = 60 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ a + b & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(ii) ke pers(iii) :
$\begin{align} a + b & = 5 \\ a + 4a & = 5 \\ 5a & = 5 \\ a & = 1 \end{align} $
Pers(ii): $ b = 4a = 4.1 = 4 $.
*). Menentukan $ Q(x) $ dengan $ a = 1 $ dan $ b = 4 $ :
$\begin{align} ax^3 + 30x + 8b & = (x-2)Q(x) + 20(a+b) \\ 1.x^3 + 30x + 8.4 & = (x-2)Q(x) + 20(1 + 4) \\ x^3 + 30x + 32 & = (x-2)Q(x) + 100 \\ x^3 + 30x - 68 & = (x-2)Q(x) \\ Q(x) & = \frac{x^3 + 30x - 68}{(x-2)} \\ Q(x) & = x^2 + 2x + 34 \end{align} $
Jadi, $ Q(x) = x^2 + 2x + 34 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk menentukan hasil pembagian $ \frac{x^3 + 30x - 68}{(x-2)} $ bisa menggunakan skema horner seperti berikut ini.
Koefisien suku-suku yang dibagi : $ 1, 0 , 30, -68 $
$ \begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & 0 & 30 & -68 & \\ & * & 2 & 4 & \, \, 68 & + \\ \hline & 1 & 2 & 34 & \text{sisa } = 0 & \end{array} $
Hasilnya adalah $ x^2 + 2x + 34 $.

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot $ y = 4x - 4 $ dan $ y = -4x + 4 $ adalan ....
A). $ (x-1)^2 - 16y^2 = c \, $
B). $ 16(x-1)^2 - y^2 = c \, $
C). $ 16(x+1)^2 - y^2 = c \, $
D). $ 4(x-1)^2 - y^2 = c \, $
E). $ 4(x+1)^2 - y^2 = c \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan asimtotnya :
$ y = 4x - 4 \rightarrow y = 4(x-1) $
$ y = -4x + 4 \rightarrow y = -4(x-1) $
Jika digabung persamaan asistotnya adalah :
$ y = \pm 4(x-1) $ atau $ y = \pm \frac{4}{1}(x-1) $
yang sama dengan $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $ ,
artinya $ p = 1, q = 0 , a = 1, $ dan $ b = 4 $.
*). Menyusun persamaan hiperbola :
$\begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{1^2} - \frac{(y-0)^2}{4^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{1} - \frac{y^2}{16} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 16)} \\ 16(x-1)^2 - y^2 & = 16 \end{align} $
atau dapat ditulis :
$ 16(x-1)^2 - y^2 = c \, $ dengan $ c $ adalah konstanta.
Jadi, persamaannya $ 16(x-1)^2 - y^2 = c . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $ dan $ 3\tan ^2 x + \tan x = 3 $, maka nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{\sqrt{37}} \, $ B). $ \frac{1}{\sqrt{38}} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{39}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt{40}} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{41}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin 2x = 2\sin x . \cos x \rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$\begin{align} 3\tan ^2 x + \tan x & = 3 \\ 3.\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \cos ^2 x ) \\ 3\sin ^2 x + \sin x\cos x & = 3 \cos ^2 x \\ \sin x\cos x & = 3 \cos ^2 x - 3\sin ^2 x \\ \sin x\cos x & = 3 ( \cos ^2 x - \sin ^2 x ) \\ \frac{1}{2}\sin 2x & = 3 \cos 2 x \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} & = \frac{3}{\frac{1}{2}} \\ \tan 2x & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ dari $ \tan 2x = 6 = \frac{6}{1} = \frac{depan}{samping} $ :
Segitiga siku-sikunya :
 

Nilai $ \cos 2x = \frac{samping}{miring} = \frac{1}{\sqrt{37}} $.
Sehingga $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{37}} $.
Jadi, nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \frac{1}{\sqrt{37}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut tumpul $ \alpha $ dengan $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ . Jika $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{7} $ dan $ \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = .... $
A). $ \sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ B). $ \sqrt{30} - 5 \, $
C). $ -\sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ D). $ -5 - \sqrt{30} \, $
E). $ -\sqrt{5} + \sqrt{30} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ \vec{a}.\vec{a} = |\vec{a}|^2 $
$ \vec{p}(\vec{q}+\vec{r}) = \vec{p}.\vec{q}+\vec{p}.\vec{r} $
*). Rumus trigonometri :
$\sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ dari $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ :
 

Sudut $ \alpha $ tumpul, sehingga nilai $ \cos \alpha $ negatif yaitu :
$ \cos \alpha = \frac{samping}{miring} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} $.
*). Menentukan nilai $ \vec{a}.\vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{b} & =\vec{a}+\vec{c} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \vec{a}) \\ \vec{a}.\vec{b} & =\vec{a}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{c} \\ |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha & = |\vec{a}|^2+\vec{a}.\vec{c} \\ \sqrt{5}. \sqrt{7}. - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} & = (\sqrt{5})^2+\vec{a}.\vec{c} \\ -\sqrt{30} & = 5 +\vec{a}.\vec{c} \\ -5 -\sqrt{30} & = \vec{a}.\vec{c} \end{align} $
Jadi, nilai $ \vec{a}.\vec{c} = -5 -\sqrt{30} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0 $. Berakah nilai $ a $ sehingga hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai minimum artinya nilai terkecil.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \\ \frac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \end{align} $
*). Karena pembilang selalu positif, maka nilai negatif hanya terjadi pada penyebut yaitu saat $ -1 < x < 4 $ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut tanpa melibatkan akar pembilangnya yaitu $ a $.
*). Agar jumlah anggota himpunan $ S $ minimum, maka nilai $ a $ harus ada di antara $ -1 $ dan 4.
*). Menentukan himpunan $ S $ dan jumlahnya berdasarkan nilai $ a $ :
-). $ a = 0 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <0 \vee 0< x <4 $
$ S = \{ 1,2,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 + 3 = 6 $.
-). $ a = 1 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <1 \vee 1< x <4 $
$ S = \{ 2,3\} \, $ , jumlah $ = 2 + 3 = 5 $.
-). $ a = 2 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <2 \vee 2< x <4 $
$ S = \{ 1,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 3 = 4 $.
-). $ a = 3 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <3 \vee 3< x <4 $
$ S = \{ 1,2\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, jumlah minimum pada saat $ a = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A , B $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2A}{A-2B} - \frac{6B}{A + 2B} = 3 \\ -\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A + 2B} = -1 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{AB}{A^2 - 4B^2} = .... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{4}{3} \, $ E). $ \frac{5}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{A}{A-2B} $ dan $ q = \frac{B}{A+2B} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2p - 6q = 3 \\ -p+6q = -1 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2p - 6q = 3 & \\ -p+6q = -1 & + \\ \hline p = 2 & \end{array} $
*). Menentukan hubungan A dan B dengan $ p = 2 $ :
$ p = 2 \rightarrow \frac{A}{A-2B} = 2 \rightarrow A = 2A - 4B \rightarrow A = 4B $
*). Substitusi bentuk $ A = 4B $ ke soal :
$\begin{align} \frac{AB}{A^2 - 4B^2} & = \frac{4B.B}{(4B)^2 - 4B^2} \\ & = \frac{4B^2}{16B^2 - 4B^2} \\ & = \frac{4B^2}{12B^2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{AB}{A^2 - 4B^2} = \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 166


Nomor 1
Jika $ A , B $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2A}{A-2B} - \frac{6B}{A + 2B} = 3 \\ -\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A + 2B} = -1 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{AB}{A^2 - 4B^2} = .... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{4}{3} \, $ E). $ \frac{5}{6} $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)}<0$. Berakah nilai $ a $ sehingga hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut tumpul $ \alpha $ dengan $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ . Jika $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{7} $ dan $ \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = .... $
A). $ \sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ B). $ \sqrt{30} - 5 \, $
C). $ -\sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ D). $ -5 - \sqrt{30} \, $
E). $ -\sqrt{5} + \sqrt{30} \, $
Nomor 5
Jika $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $ dan $ 3\tan ^2 x + \tan x = 3 $, maka nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{\sqrt{37}} \, $ B). $ \frac{1}{\sqrt{38}} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{39}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt{40}} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{41}} \, $

Nomor 6
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot $ y = 4x - 4 $ dan $ y = -4x + 4 $ adalan ....
A). $ (x-1)^2 - 16y^2 = c \, $
B). $ 16(x-1)^2 - y^2 = c \, $
C). $ 16(x+1)^2 - y^2 = c \, $
D). $ 4(x-1)^2 - y^2 = c \, $
E). $ 4(x+1)^2 - y^2 = c \, $
Nomor 7
Jika $ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) $ dan $ 4a = b $ , maka $ Q(x) = .... $
A). $ x^2 - 2x - 34 \, $
B). $ x^2 + 2x + 34 \, $
C). $ x^2 - 4x + 60 \, $
D). $ 4x^2 + 2x + 34 \, $
E). $ 4x^2 + 4x - 60 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x \sec x + \sin x}{x (\cos x - 1)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $
Nomor 12
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \cos (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \sin (\cos ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
C). $ \sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 x. \sin (\cos ^2x) \, $
E). $ 2\sin ^2x. \sin (\cos ^2x) $
Nomor 14
Jika $ m $ adalah gradien garis singgung dari kurva $ y = (x-1)^2 + 1 $ yang melalui $(0,t) $ , maka $ m = .... $
A). $ -2\pm \sqrt{2-2t} \, $
B). $ 2\pm \sqrt{2-2t} \, $
C). $ -2\pm \sqrt{2-t} \, $
D). $ 2\pm 2\sqrt{2-t} \, $
E). $ -2\pm 2\sqrt{2-t} \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $