Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki dua asimtot tegak jika penyebutnya hanya mempunyai dua faktor yang berbeda.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan bentuk $ x^3 -3x+2 $ .
$\begin{align} x^3 -3x+2 & = x^3 -x^2 + x^2 -3x+2 \\ & = (x^3 -x^2) + (x^2 -3x+2) \\ & = x^2(x-1) + (x-1)(x-2) \\ & = (x-1)(x^2+x-2) \\ & = (x-1)(x-1)(x+2) \end{align} $
*). Kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} = \frac{(x-1)(x-1)(x+2)}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $.
*). Penyebutnya $ \frac{1}{a}x(x^2-ax-6) $ mempunyai faktor $ x $ dan $ (x^2-ax-6) $ dimana $ (x^2-ax-6) $ terdiri dari dua faktor sehingga penyebut totalnya memiliki tiga faktor.
*). Agar penyebutnya hanya mempunyai dua faktor maka salah satu faktor dari $ (x^2-ax-6) $ harus sama dengan faktor dari pembilangnya yaitu $(x-1)$ atau $(x+2)$.
*). Salah satu faktor $(x^2-ax-6) $ adalah $ (x-1) $ pada saat $ a = 5 $ yaitu :
$ x^2 - ax - 6 = x^2-5x-6=(x-1)(x+6) $ .
Persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{5}x(x^2-5x-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{5}x^3-x^2-\frac{6}{5}x} \\ y & = \frac{1}{\frac{1}{5}} \\ y & = 5 \, \, \, \, \, \text{(tidak ada pada optionnya)} \end{align} $
*). Salah satu faktor $(x^2-ax-6) $ adalah $ (x+2) $ pada saat $ a = 1 $ yaitu :
$ x^2 - ax - 6 = x^2-1x-6=(x+2)(x-3) $ .
Persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{1}x(x^2-1x-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{x^3-x^2-6x} \\ y & = \frac{1}{1} \\ y & = 1 \end{align} $
Jadi, asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 . \, \heartsuit $

1 komentar:

  1. Mantap bang... Koreksi sedikit, Ada yang salah hitung, a nya seharsunya -5. Faktor(x-1)(x+6) menghasilkan pers. Kuadrat x²+5x-6
    -a=5
    a=5:)

    BalasHapus