Soal yang Akan Dibahas
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang
memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0 $. Berakah nilai $ a $ sehingga
hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai minimum artinya nilai terkecil.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Nilai minimum artinya nilai terkecil.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \\ \frac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \end{align} $
*). Karena pembilang selalu positif, maka nilai negatif hanya terjadi pada penyebut yaitu saat $ -1 < x < 4 $ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut tanpa melibatkan akar pembilangnya yaitu $ a $.
*). Agar jumlah anggota himpunan $ S $ minimum, maka nilai $ a $ harus ada di antara $ -1 $ dan 4.
*). Menentukan himpunan $ S $ dan jumlahnya berdasarkan nilai $ a $ :
-). $ a = 0 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <0 \vee 0< x <4 $
$ S = \{ 1,2,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 + 3 = 6 $.
-). $ a = 1 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <1 \vee 1< x <4 $
$ S = \{ 2,3\} \, $ , jumlah $ = 2 + 3 = 5 $.
-). $ a = 2 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <2 \vee 2< x <4 $
$ S = \{ 1,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 3 = 4 $.
-). $ a = 3 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <3 \vee 3< x <4 $
$ S = \{ 1,2\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, jumlah minimum pada saat $ a = 3 . \, \heartsuit $
*). Perhatikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \\ \frac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \end{align} $
*). Karena pembilang selalu positif, maka nilai negatif hanya terjadi pada penyebut yaitu saat $ -1 < x < 4 $ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut tanpa melibatkan akar pembilangnya yaitu $ a $.
*). Agar jumlah anggota himpunan $ S $ minimum, maka nilai $ a $ harus ada di antara $ -1 $ dan 4.
*). Menentukan himpunan $ S $ dan jumlahnya berdasarkan nilai $ a $ :
-). $ a = 0 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <0 \vee 0< x <4 $
$ S = \{ 1,2,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 + 3 = 6 $.
-). $ a = 1 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <1 \vee 1< x <4 $
$ S = \{ 2,3\} \, $ , jumlah $ = 2 + 3 = 5 $.
-). $ a = 2 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <2 \vee 2< x <4 $
$ S = \{ 1,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 3 = 4 $.
-). $ a = 3 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <3 \vee 3< x <4 $
$ S = \{ 1,2\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, jumlah minimum pada saat $ a = 3 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.